partielle Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Do 11.06.2009 | | Autor: | SEBBI001 |
| Aufgabe | Wir nehmen an, dass die zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion f : [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] existieren.
Sei [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] identisch 0. Dann gibt es eine Funktion g : [mm] \IR \to \IR [/mm] mit f(x,y) = g(y) für alle x,y [mm] \in \IR [/mm] |
Wenn die partielle Ableitung von x gleich 0 ist, heißt das, dass x konstant ist? Wenn ja, dann heißt es ja, dass der Funktionswert nur von y abhängt und man x dann sozusagen weglassen kann. Stimmt das soweit? Und wie kann ich denn diese Funktion g bestimmen? Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Do 11.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Wir nehmen an, dass die zweiten partiellen Ableitungen
> einer Funktion f : [mm]\IR^2 \to \IR[/mm] existieren.
> Sei [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] identisch 0. Dann gibt
> es eine Funktion g : [mm]\IR \to \IR[/mm] mit f(x,y) = g(y) für alle
> x,y [mm]\in \IR[/mm]
> Wenn die partielle Ableitung von x gleich 0
> ist, heißt das, dass x konstant ist? Wenn ja, dann heißt es
> ja, dass der Funktionswert nur von y abhängt
Ja, das heisst es.
> und man x dann sozusagen weglassen kann.
Die Folgerung ist so falsch.
> Stimmt das soweit? Und wie kann ich denn diese Funktion g bestimmen?
f bildet ein Element aus dem [mm] \IR² [/mm] auf ein Element im [mm] \IR [/mm] ab, also:
[mm] f:\underbrace{\vektor{x\\y}}_{\in\IR^{2}}\mapsto\underbrace{z_{x,y}}_{\in\IR}
[/mm]
Beispiel für eine solche Funktion ist h(x;y)=x²+xy-y²
Hier ist das Wertepaar [mm] \vektor{x\\y} [/mm] ein Element aus [mm] \IR^{2}, [/mm] die Zahl [mm] z:=x^{2}+xy-y² [/mm] ein Element aus [mm] \IR
[/mm]
Jetzt ist x aber eine Konstante c, also...
> Vielen Dank
Jetzt bist du erstmal wieder dran.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Do 11.06.2009 | | Autor: | SEBBI001 |
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> f bildet ein Element aus dem [mm]\IR²[/mm] auf ein Element im [mm]\IR[/mm]
> ab, also:
>
> [mm]f:\underbrace{\vektor{x\\y}}_{\in\IR^{2}}\mapsto\underbrace{z_{x,y}}_{\in\IR}[/mm]
> Beispiel für eine solche Funktion ist h(x;y)=x²+xy-y²
> Hier ist das Wertepaar [mm]\vektor{x\\y}[/mm] ein Element aus
> [mm]\IR^{2},[/mm] die Zahl [mm]z:=x^{2}+xy-y²[/mm] ein Element aus [mm]\IR[/mm]
>
> Jetzt ist x aber eine Konstante c, also...
>
...könnte man jetzt anstatt x die Konstante c einsetzen und hätte dann [mm] c^2 [/mm] + cy + [mm] y^2 [/mm] was dann ja die gesuchte Funktion g(y) wäre (zumindest in diesem Beispiel) Stimmt das so?
Kann man also dann allgemein argumentieren, dass man g(y) erhält indem man in f(x,y) die vorkommenden x durch eine Konstante c [mm] \in \IR [/mm] ersetzt?
> Jetzt bist du erstmal wieder dran.
>
> Marius
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Überleg mal, was passieren würde, wenn in deiner Funktion tatsächlich ein x drin wäre... dann würde die Ableitung nicht 0 ergeben. Deine Funktion f(x,y) kann also nicht von x abhängen und ist somit einfach nur eine Funktion, die von y abhängt. Der Funktionsterm an sich ändert sich dabei nicht.
Es könnte also z.B. so aussehen:
f(x,y) = [mm] sin(y^3) [/mm] (als Funktion vom [mm] \IR^2 [/mm] ausgehend nach [mm] \IR)
[/mm]
Dann ist deine gesuchte Funktion:
g(y) = [mm] sin(y^3) [/mm] (als Funktion von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR)
[/mm]
f(x,y) und g(y) unterscheiden sich in ihrem Definitionsbereich, die Vorschrift ist gleich.
Gruß,
weightgainer
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> Überleg mal, was passieren würde, wenn in deiner Funktion
> tatsächlich ein x drin wäre... dann würde die Ableitung
> nicht 0 ergeben. Deine Funktion f(x,y) kann also nicht von
> x abhängen und ist somit einfach nur eine Funktion, die von
> y abhängt. Der Funktionsterm an sich ändert sich dabei
> nicht.
> Es könnte also z.B. so aussehen:
> f(x,y) = [mm]sin(y^3)[/mm] (als Funktion vom [mm]\IR^2[/mm] ausgehend nach
> [mm]\IR)[/mm]
>
> Dann ist deine gesuchte Funktion:
> g(y) = [mm]sin(y^3)[/mm] (als Funktion von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR)[/mm]
>
> f(x,y) und g(y) unterscheiden sich in ihrem
> Definitionsbereich, die Vorschrift ist gleich.
>
Habe dieselbe Aufgabe. Meine ersten Gedanken waren: x muss konstant sein und es darf kein Produkt $x [mm] \cdot [/mm] y$ geben. Also grundsätzlich das, was hier auch erarbeitet wurde.
Meine Funktion $g(y)$ darf doch aber einen konstanten Summanden $ x=c $ enthalten, oder? Ich glaub ich steh mir grad selbst im Weg 
Nehmen wir also an, um bei obigen Beispiel zu bleiben,
$f(x,y) = c + [mm] sin(y^3)$
[/mm]
Wie sieht dann mein $g(y)$ aus? Mit oder ohne das $c$?
Meine Meinung: $g(y) = c + [mm] sin(y^3)$
[/mm]
oder muss ich den weglassen...? wenn ja, warum? ![[help]](/images/smileys/help.gif "[help]")
Gruß GB
P.S.: ach ja - wie kann ich denn diese ganzen überlegungen rechnerisch zeigen? auf die aufgabe gibt es vergleichsweise viele punkte - da reichen 2 zeilen erklärung meist nicht aus... hat jemand einen tipp für einen "ordentlichen" mathematischen beweis?
> Gruß,
> weightgainer
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Naja,
es war vielleicht ein etwas unglückliches Beispiel... in deiner Funktion f(x,y) darf alles drinstehen, nur kein x. Sobald die Funktion abhängig von x ist, kann die Ableitung nicht 0 werden. Ansonsten kann aber alles drin vorkommen - alle Buchstaben dieser Welt und beliebige Kombinationen deiner Variablen y.
Eine Funktion wird eindeutig festgelegt durch die Angabe des Definitionsbereichs und der Funktionsgleichung/-term.
Der Unterschied zwischen f(x,y) und g(y) liegt hier in diesem Fall nur im Definitonsbereich, während der Funktionsterm bei beiden identisch ist.
Vielleicht wird es damit etwas klarer....
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ok, danke, ich glaube ich hab jetzt verstanden, worums da geht.
stellt sich mir nur noch die frage:
wie kann ich denn diese ganzen überlegungen rechnerisch zeigen? auf die aufgabe gibt es vergleichsweise viele punkte - da reichen 2 zeilen "wörtliche" erklärung meist nicht aus... hat jemand einen tipp für einen "ordentlichen" mathematischen beweis?
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Es ist aber so trivial.
"Bew.:"
[mm]\bruch{\partial f}{\partial x} = 0[/mm]
[mm]\gdw f(x, y_0) = const \ \forall y_0 \in \IR[/mm] (d.h. f ist bzgl. der Variablen x für jedes beliebige, aber feste [mm] y_0 [/mm] eine konstante Funktion)
[mm]\gdw f(x,y) = g(y)[/mm]
Also: man hält alle anderen Variablen fest (hier nur das y) und sieht, dass für jedes beliebige feste [mm] y_0 [/mm] eine konstante Funktion entsteht. Und das kann man dann umschreiben in ein g(y).
Gruß,
weightgainer
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unüblich für unsere ana-hausaufgaben. kommt aber irgendwie in letzter zeit häufiger vor 