partielle Ableitung Laplace < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:51 Do 04.06.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Sei [mm] u:\mathbb{R}^{n}\times(\mathbb{R}\backslash\{0\})\rightarrow\mathbb{R} [/mm] mit [mm] u(x,t)=t^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{||x||^{2}}{4t}}.
[/mm]
[mm] \textbf{Behauptung:} [/mm] u löst [mm] \frac{\partial u}{\partial t}-\triangle [/mm] u=0,
wobei [mm] \triangle [/mm] der Laplace-Operator bzgl in [mm] \mathbb{R}^n [/mm] bzgl x ist und ||x|| die euklidische Norm in [mm] \mathbb{R}^n [/mm] |
Hallo,
was ich hier (einfach) gemacht habe: u nach t abgeleitet.
Und für den Laplace Operator gilt doch: [mm] \triangle u&=&\sum\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}.
[/mm]
Demnach habe ich das ganze auch noch 2 mal nach x abgeleitet.
Das ist eine unschöne Sache. Wenn ich nun meine Ergebnisse für [mm] \frac{\partial u}{\partial t} [/mm] und [mm] \triangle [/mm] u einsetze, komme ich aber nicht auf 0. Ist das Vorgehen überhaupt richtig?
Hier mal meine Ergebnisse bis jetzt:
[mm] \frac{\partial}{\partial t}(t^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{x^{n}}{4t}})= exp(-\frac{x^{n}}{4t})\cdot t^{-\frac{n}{2}}\left[-\frac{n}{2t}+\frac{x^{n}}{4t^{2}}\right]
[/mm]
[mm] \frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{n}{4t}\cdot t^{-\frac{n}{2}}\cdot x^{n-1}exp(-\frac{x^{n}}{4t})
[/mm]
[mm] \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}&=&exp(-\frac{x^{n}}{4t})(-\frac{n}{4t}\cdot t^{-\frac{n}{2}})[nx^{n-1}-x^{n-2}-\frac{n}{4t}x^{2n-2}]
[/mm]
Noch irgendwie weiter umformen???
Bei dem Laplace Operator ergibt sich bei mir ja keine Summe, weil ich ja nur x gegeben habe und nicht [mm] x_1,x_2 [/mm] usw. Muss ich das noch irgendwie anders machen?
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Hallo
> Sei
> [mm]u:\mathbb{R}^{n}\times(\mathbb{R}\backslash\{0\})\rightarrow\mathbb{R}[/mm]
> mit [mm]u(x,t)=t^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{||x||^{2}}{4t}}.[/mm]
> [mm]\textbf{Behauptung:}[/mm] u löst [mm]\frac{\partial u}{\partial t}-\triangle[/mm]
> u=0,
> wobei [mm]\triangle[/mm] der Laplace-Operator bzgl in [mm]\mathbb{R}^n[/mm]
> bzgl x ist und ||x|| die euklidische Norm in [mm]\mathbb{R}^n[/mm]
> Hallo,
>
> was ich hier (einfach) gemacht habe: u nach t abgeleitet.
>
> Und für den Laplace Operator gilt doch: [mm]\triangle u&=&\sum\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}.[/mm]
>
> Demnach habe ich das ganze auch noch 2 mal nach x
> abgeleitet.
> Das ist eine unschöne Sache. Wenn ich nun meine Ergebnisse
> für [mm]\frac{\partial u}{\partial t}[/mm] und [mm]\triangle[/mm] u einsetze,
> komme ich aber nicht auf 0. Ist das Vorgehen überhaupt
> richtig?
>
Zunächst solltest du klären ob es [mm] |x|^n [/mm] oder [mm] |x|^2 [/mm] im exponenten der exponentialfunktion heißt.
Ja, das Vorgehen ist richtig allerdings hast du im Folgenden falsch abgeleitet:
> Hier mal meine Ergebnisse bis jetzt:
> [mm]\frac{\partial}{\partial t}(t^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{x^{n}}{4t}})= exp(-\frac{x^{n}}{4t})\cdot t^{-\frac{n}{2}}\left[-\frac{n}{2t}+\frac{x^{n}}{4t^{2}}\right][/mm]
zb müsste (wenn ich jetzt nicht komplett irre) die Ableitung lauten:
[mm]\frac{\partial}{\partial t}(t^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{|x|^{2}}{4t}})= -\frac{n}{2}*t^{-\frac{n}{2}-1}*e^{-\frac{|x|^{2}}{4t}}+t^{-\frac{n}{2}}*(\frac{|x|^2}{4t^2})*e^{-\frac{|x|^{2}}{4t}})[/mm]
>
> [mm]\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{n}{4t}\cdot t^{-\frac{n}{2}}\cdot x^{n-1}exp(-\frac{x^{n}}{4t})[/mm]
>
> [mm]\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}&=&exp(-\frac{x^{n}}{4t})(-\frac{n}{4t}\cdot t^{-\frac{n}{2}})[nx^{n-1}-x^{n-2}-\frac{n}{4t}x^{2n-2}][/mm]
>
auch diese ableitung scheint mir falsch. du musst beachten, dass x hier in der norm im exponenten steht., das heißt hier steht eigentlich [mm] exp((\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2})^2*\frac{-1}{4t})
[/mm]
es ist natürlich schlau hier die wurzel und das quadrat wegzulassen. dann lässt es sich sehr einfach nach [mm] x_1,...,x_n [/mm] ableiten. das musst du dann nochmal machen und addieren. Im Allgemeinen ist das nicht schwer, sonder nur etwas Schreibarbeit.
> Noch irgendwie weiter umformen???
>
> Bei dem Laplace Operator ergibt sich bei mir ja keine
> Summe, weil ich ja nur x gegeben habe und nicht [mm]x_1,x_2[/mm]
> usw. Muss ich das noch irgendwie anders machen?
mfg,
benevonmattheis
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