partielle Ableitungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 So 06.01.2008 | | Autor: | Nico00 |
| Aufgabe | Bestimme für die gegebenen Funktionen jeweils die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung.
a) [mm] f(x,y)=ln\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}
[/mm]
[mm] b)f(x,y,z)=\bruch{3x^{2}+yz}{z^{3}}
[/mm]
c) [mm] f(x,y)=3x^{2}-4y^{2}+5xy+4y
[/mm]
d) [mm] f(x,y)=(xy)^{3}+xy^{2} [/mm] |
Hallo,
wäre es möglich, dass sich jemand meine Lösungen anschaut.
Ich bin mir leider nicht ganz sicher, ob ich das richtig gemacht habe.
zu a)
[mm] f'(x,0)=\bruch{-1}{x}
[/mm]
[mm] f''(x,0)=\bruch{1}{x^{2}}
[/mm]
[mm] f'(0,y)=\bruch{-1}{y}
[/mm]
[mm] f''(0,y)=\bruch{1}{y^{2}}
[/mm]
zu b)
da weiß ich nicht so recht, da ich doch dann im Nenner eine 0 habe
zu c)
f'(x,0)=6x
f''(x,0)=6
f'(0,y)=-8y
f''(0,y)=-8
zu d)
da sind doch die Ableitungen alle gleich Null, oder??
Könnte mir da bitte jemand helfen.
Gruß, Nico
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 So 06.01.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo Nico,
ich leite dir mal die a) partiell einmal ab:
$f(x,y) = ln [mm] \bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}}$ [/mm]
[mm] $\bruch{\partial f}{\partial x}= \wurzel{x^2+y^2}*\left(\bruch{-1}{2} \right)*\left(\wurzel{x^2+y^2}\right)^{-3}*2x [/mm] = [mm] \bruch{-x}{x^2+y^2}$
[/mm]
[mm] $\bruch{\partial f}{\partial y}= \wurzel{x^2+y^2}*\left(\bruch{-1}{2} \right)*\left(\wurzel{x^2+y^2}\right)^{-3}*2y [/mm] = [mm] \bruch{-y}{x^2+y^2}$
[/mm]
Zum zweiten mal:
[mm] $\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2} [/mm] = [mm] \bruch{-(x^2+y^2)+x*2x}{(x^2+y^2)^2} =\bruch{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} [/mm] $
[mm] $\bruch{\partial^2 f}{\partial y^2} [/mm] = [mm] \bruch{-(x^2+y^2)+y*2y}{(x^2+y^2)^2} =\bruch{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} [/mm] $
[mm] $\bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y} [/mm] = [mm] \bruch{0+x*2y}{(x^2+y^2)^2} =\bruch{2xy}{(x^2+y^2)^2} [/mm] $
So ich mich nicht verrechnet habe.
LG, Martinius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 So 06.01.2008 | | Autor: | max3000 |
Hi.
Was machst du da eigentlich?
Warum setzt du bei der Ableitung nach x denn die y-Variable 0?
Die bleibt einfach konstant da stehen.
Beispiel a)
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=(x^2+y^2)^{1/2}*(-\bruch{1}{2})*(x^2+y^2)^{-3/2}*2x
[/mm]
[mm] =-\bruch{x}{x^2+y^2}
[/mm]
Aus Symmetriegründen ist dann
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=-\bruch{y}{x^2+y^2}
[/mm]
Die Ableitung war etwas schwierig. Erst leitest du ln ab, die innere Ableitung ist dann der Bruch und davon die innere Ableitung das unter der Wurzel. Also 2 mal Kettenregel.
Habt ihr das etwa so gelernt, dass man die jeweils anderen Variablen 0 setzt?
Nochmal zur schreibweise, weiß ja nicht wie ihr das gelernt habt:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=\partial_xf(x,y)=\partial_1f(x,y)
[/mm]
Gruß
Max
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