partielle Diffbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 Sa 09.05.2015 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | | Untersuche die Funktion f(x,y) = [mm] sin(\wurzel{x^{2}+y^{2}}) [/mm] auf partielle Differenzierbarkeit. |
Hallo.
Ich bin mir unsicher, ob die oben genannte Funktion in (0,0) partiell diffbar ist.
Mein "Beweis" sieht wie folgt aus:
[mm] \bruch{\partial}{\partial x}f(x,y)= \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin(\wurzel{h^{2}+0}) + 0}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin(\wurzel{h^{2}})}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin(h)}{h}
[/mm]
mit l'Hosptial folgt dann: [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{cos(h)}{1} [/mm] = 1
Für [mm] \bruch{\partial}{\partial y}f(x,y) [/mm] analog.
Also existieren beide GW und somit ist f in (0,0) partiell diffbar.
Über eine Korrektur und Markieren möglicher Fehler wäre ich sehr dankbar!
Viele Grüße.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:00 Sa 09.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuche die Funktion f(x,y) = [mm]sin(\wurzel{x^{2}+y^{2}})[/mm]
> auf partielle Differenzierbarkeit.
> Hallo.
> Ich bin mir unsicher, ob die oben genannte Funktion in
> (0,0) partiell diffbar ist.
> Mein "Beweis" sieht wie folgt aus:
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x}f(\red{x,y})[/mm]
es geht doch um die partielle Ableitung an der Stelle $(0,0)$, also schreibe
[mm] $\frac{\partial}{\partial x} f(\red{(0,0)})$ [/mm] (meinetwegen erspare Dir ein Klammernpaar, so,
wie es üblicherweise per Def. auch gemacht wird!)
> [mm]= \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin(\wurzel{h^{2}+0}) + 0}{h}[/mm]
Das "+ 0" sollte sinniger als "- 0" geschrieben werden!
Und hier würde ich vielleicht ein wenig ausführlicher
$= [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin(\wurzel{h^{2}+0}) \red{\;-\;}\overbrace{\blue{0}}^{=\blue{f(0,0)}}}{h}$
[/mm]
schreiben, aber das ist nicht so wichtig...
> = [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin(\wurzel{h^{2}})}{h}[/mm] =[mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin(\red{h})}{h}[/mm]
WARNUNG: Für $h [mm] \in \IR \setminus \{0\}$ [/mm] gilt [mm] $\sqrt{h^2}=\,\red{|}\,h\,\red{|}$! [/mm] (BETRAGSZEICHEN!)
> mit l'Hosptial
Buchstabenwirrwarr, der Name ist Hospital (oder Hôpital)!
> folgt dann: [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{cos(h)}{1}[/mm] = 1
Die Folgerung wäre korrekt, wenn der Fehler vorher nicht da wäre. Aber
meist hat man vorher schonmal [mm] $\sin(x)/x \to [/mm] 1$ für $x [mm] \to [/mm] 0$ bewiesen - mit
Hospital, oder mit der Reihendarstellung des Sinus, oder weil
[mm] $\sin'(0)=\lim_{0 \neq x \to 0}\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}=\lim_{0 \neq x \to 0}\frac{\sin(x)}{x}$
[/mm]
und [mm] $\sin'(0)=\cos(0)=1$ [/mm] bekannt ist!
Aber hier:
[mm] $\underbrace{\lim_{h \to 0}}_{=\lim_{0 \neq x \to 0}}\frac{\sin(\red{\,|}x\red{\,|})}{x}$
[/mm]
existiert nicht (Tipp: linksseitiger und rechtsseitiger GW).
Nebenbei: Wenn man nun nicht etwa direkt die Idee mit l'Hôpital hätte,
dann kann man ja sich mal
sin(abs(x))/x
auf
http://www.mathe-fa.de/de
plotten lassen. 
> Für [mm]\bruch{\partial}{\partial y}f(x,y)[/mm] analog.
> Also existieren beide GW und somit ist f in (0,0) partiell
> diffbar.
>
> Über eine Korrektur und Markieren möglicher Fehler wäre
> ich sehr dankbar!
Gerne.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Sa 09.05.2015 | | Autor: | Calculu |
Erstmal vielen Dank für diese ausführliche Antwort! Ich hab aber noch ein paar Fragen:
> Hallo,
>
> > Untersuche die Funktion f(x,y) = [mm]sin(\wurzel{x^{2}+y^{2}})[/mm]
> > auf partielle Differenzierbarkeit.
> > Hallo.
> > Ich bin mir unsicher, ob die oben genannte Funktion in
> > (0,0) partiell diffbar ist.
> > Mein "Beweis" sieht wie folgt aus:
> >
> > [mm]\bruch{\partial}{\partial x}f(\red{x,y})[/mm]
>
> es geht doch um die partielle Ableitung an der Stelle
> [mm](0,0)[/mm], also schreibe
>
> [mm]\frac{\partial}{\partial x} f(\red{(0,0)})[/mm] (meinetwegen
> erspare Dir ein Klammernpaar, so,
> wie es üblicherweise per Def. auch gemacht wird!)
Ja klar, das war natürlich falsch.
>
> > [mm]= \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin(\wurzel{h^{2}+0}) + 0}{h}[/mm]
>
> Das "+ 0" sollte sinniger als "- 0" geschrieben werden!
>
> Und hier würde ich vielleicht ein wenig ausführlicher
>
> [mm]= \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin(\wurzel{h^{2}+0}) \red{\;-\;}\overbrace{\blue{0}}^{=\blue{f(0,0)}}}{h}[/mm]
>
> schreiben, aber das ist nicht so wichtig...
Ja, deshalb hab ich auch abgekürzt (das + ist natürlich quatsch...)
>
> > = [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin(\wurzel{h^{2}})}{h}[/mm]
> =[mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin(\red{h})}{h}[/mm]
>
> WARNUNG: Für [mm]h \in \IR \setminus \{0\}[/mm] gilt
> [mm]\sqrt{h^2}=\,\red{|}\,h\,\red{|}[/mm]! (BETRAGSZEICHEN!)
Daran hatte ich auch schon gedacht, war mir dann aber unsicher. Diesbezüglich hab ich aber noch eine Frage:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin(|h|)}{h} [/mm] kann ich doch für h <0 so schreiben:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin(-h)}{h}
[/mm]
mit Hospital folgt dann [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{-cos(-h)}{1} [/mm] = -1
und für h>0:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin(h)}{h}
[/mm]
mit Hospital folgt dann [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{cos(-h)}{1} [/mm] = 1
Somit sind beide GW unterschiedlich und die partielle Ableitung in (0,0) exist nicht. Analog für die partielle Ableitung nach y.
Richtig?
>
> > mit l'Hosptial
>
> Buchstabenwirrwarr, der Name ist Hospital (oder Hôpital)!
Ok
>
> > folgt dann: [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{cos(h)}{1}[/mm] = 1
>
> Die Folgerung wäre korrekt, wenn der Fehler vorher nicht
> da wäre. Aber
> meist hat man vorher schonmal [mm]\sin(x)/x \to 1[/mm] für [mm]x \to 0[/mm]
> bewiesen - mit
> Hospital, oder mit der Reihendarstellung des Sinus, oder
> weil
>
> [mm]\sin'(0)=\lim_{0 \neq x \to 0}\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}=\lim_{0 \neq x \to 0}\frac{\sin(x)}{x}[/mm]
>
> und [mm]\sin'(0)=\cos(0)=1[/mm] bekannt ist!
>
> Aber hier:
>
> [mm]\underbrace{\lim_{h \to 0}}_{=\lim_{0 \neq x \to 0}}\frac{\sin(\red{\,|}x\red{\,|})}{x}[/mm]
>
> existiert nicht (Tipp: linksseitiger und rechtsseitiger
> GW).
>
> Nebenbei: Wenn man nun nicht etwa direkt die Idee mit
> l'Hôpital hätte,
> dann kann man ja sich mal
>
> sin(abs(x))/x
>
> auf
>
> http://www.mathe-fa.de/de
>
> plotten lassen.
>
> > Für [mm]\bruch{\partial}{\partial y}f(x,y)[/mm] analog.
> > Also existieren beide GW und somit ist f in (0,0)
> partiell
> > diffbar.
> >
> > Über eine Korrektur und Markieren möglicher Fehler wäre
> > ich sehr dankbar!
>
> Gerne.
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Sa 09.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Erstmal vielen Dank für diese ausführliche Antwort! Ich
> hab aber noch ein paar Fragen:
>
>
> > Hallo,
> >
> > > Untersuche die Funktion f(x,y) = [mm]sin(\wurzel{x^{2}+y^{2}})[/mm]
> > > auf partielle Differenzierbarkeit.
> > > Hallo.
> > > Ich bin mir unsicher, ob die oben genannte Funktion
> in
> > > (0,0) partiell diffbar ist.
> > > Mein "Beweis" sieht wie folgt aus:
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial}{\partial x}f(\red{x,y})[/mm]
> >
> > es geht doch um die partielle Ableitung an der Stelle
> > [mm](0,0)[/mm], also schreibe
> >
> > [mm]\frac{\partial}{\partial x} f(\red{(0,0)})[/mm] (meinetwegen
> > erspare Dir ein Klammernpaar, so,
> > wie es üblicherweise per Def. auch gemacht wird!)
>
> Ja klar, das war natürlich falsch.
> >
> > > [mm]= \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin(\wurzel{h^{2}+0}) + 0}{h}[/mm]
> >
> > Das "+ 0" sollte sinniger als "- 0" geschrieben werden!
> >
> > Und hier würde ich vielleicht ein wenig ausführlicher
> >
> > [mm]= \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin(\wurzel{h^{2}+0}) \red{\;-\;}\overbrace{\blue{0}}^{=\blue{f(0,0)}}}{h}[/mm]
>
> >
> > schreiben, aber das ist nicht so wichtig...
>
> Ja, deshalb hab ich auch abgekürzt (das + ist natürlich
> quatsch...)
> >
> > > = [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin(\wurzel{h^{2}})}{h}[/mm]
> > =[mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin(\red{h})}{h}[/mm]
> >
> > WARNUNG: Für [mm]h \in \IR \setminus \{0\}[/mm] gilt
> > [mm]\sqrt{h^2}=\,\red{|}\,h\,\red{|}[/mm]! (BETRAGSZEICHEN!)
>
> Daran hatte ich auch schon gedacht, war mir dann aber
> unsicher. Diesbezüglich hab ich aber noch eine Frage:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin(|h|)}{h}[/mm] kann ich doch
> für h <0 so schreiben:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin(-h)}{h}[/mm]
ja, aber dann schreibe auch
[mm] $\lim_{\red{0 > h}\, \to 0}...$!
[/mm]
> mit Hospital
> folgt dann [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{-cos(-h)}{1}[/mm] = -1
Ja, aber auch das geht einfacher. Siehe die andere Antwort. Okay ist es
aber auch so! (Nur ist de l'Hôpital hier so ein bisschen wie *mit Kanonen
auf Spatzen schießen*!)
> und für h>0:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin(h)}{h}[/mm]
Analog: [mm] $\lim_{\red{0 < h\,}\to 0}...$ [/mm] (manche schreiben das auch als [mm] $\lim_{h \to 0+}...$; [/mm] den linksseitigen
GW an 0 auch als [mm] $\lim_{h \to 0-}...$)
[/mm]
> mit Hospital
> folgt dann [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{cos(-h)}{1}[/mm] = 1
>
> Somit sind beide GW unterschiedlich
Wegen $-1 [mm] \neq [/mm] 1$
> und die partielle
> Ableitung in (0,0) exist nicht. Analog für die partielle
> Ableitung nach y.
> Richtig?
Alles gut ansonsten. Die Notations'mängel' oben finde ich auch nicht ganz
so schlimm, weil Du es ja im Text vorher erwähnst (dass Du bei [mm] $\lim_{h \to 0}...$ [/mm] dort
$h < 0$ betrachtest etc. pp.). Man kann es aber unmissverständlich notieren,
damit da niemand noch was muniert. Aber von den Überlegungen ist alles: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:25 So 10.05.2015 | | Autor: | Calculu |
> Hallo,
>
> > Erstmal vielen Dank für diese ausführliche Antwort! Ich
> > hab aber noch ein paar Fragen:
> >
> >
> > > Hallo,
> > >
> > > > Untersuche die Funktion f(x,y) = [mm]sin(\wurzel{x^{2}+y^{2}})[/mm]
> > > > auf partielle Differenzierbarkeit.
> > > > Hallo.
> > > > Ich bin mir unsicher, ob die oben genannte
> Funktion
> > in
> > > > (0,0) partiell diffbar ist.
> > > > Mein "Beweis" sieht wie folgt aus:
> > > >
> > > > [mm]\bruch{\partial}{\partial x}f(\red{x,y})[/mm]
> > >
> > > es geht doch um die partielle Ableitung an der Stelle
> > > [mm](0,0)[/mm], also schreibe
> > >
> > > [mm]\frac{\partial}{\partial x} f(\red{(0,0)})[/mm] (meinetwegen
> > > erspare Dir ein Klammernpaar, so,
> > > wie es üblicherweise per Def. auch gemacht wird!)
> >
> > Ja klar, das war natürlich falsch.
> > >
> > > > [mm]= \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin(\wurzel{h^{2}+0}) + 0}{h}[/mm]
> > >
> > > Das "+ 0" sollte sinniger als "- 0" geschrieben werden!
> > >
> > > Und hier würde ich vielleicht ein wenig ausführlicher
> > >
> > > [mm]= \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin(\wurzel{h^{2}+0}) \red{\;-\;}\overbrace{\blue{0}}^{=\blue{f(0,0)}}}{h}[/mm]
>
> >
> > >
> > > schreiben, aber das ist nicht so wichtig...
> >
> > Ja, deshalb hab ich auch abgekürzt (das + ist natürlich
> > quatsch...)
> > >
> > > > = [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin(\wurzel{h^{2}})}{h}[/mm]
> > > =[mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin(\red{h})}{h}[/mm]
> > >
> > > WARNUNG: Für [mm]h \in \IR \setminus \{0\}[/mm] gilt
> > > [mm]\sqrt{h^2}=\,\red{|}\,h\,\red{|}[/mm]! (BETRAGSZEICHEN!)
> >
> > Daran hatte ich auch schon gedacht, war mir dann aber
> > unsicher. Diesbezüglich hab ich aber noch eine Frage:
> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin(|h|)}{h}[/mm] kann ich doch
> > für h <0 so schreiben:
> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin(-h)}{h}[/mm]
>
> ja, aber dann schreibe auch
>
> [mm]\lim_{\red{0 > h}\, \to 0}...[/mm]!
>
> > mit Hospital
> > folgt dann [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{-cos(-h)}{1}[/mm] =
> -1
>
> Ja, aber auch das geht einfacher. Siehe die andere Antwort.
> Okay ist es
> aber auch so! (Nur ist de l'Hôpital hier so ein bisschen
> wie *mit Kanonen
> auf Spatzen schießen*!)
>
> > und für h>0:
> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin(h)}{h}[/mm]
>
> Analog: [mm]\lim_{\red{0 < h\,}\to 0}...[/mm] (manche schreiben das
> auch als [mm]\lim_{h \to 0+}...[/mm]; den linksseitigen
> GW an 0 auch als [mm]\lim_{h \to 0-}...[/mm])
>
> > mit Hospital
> > folgt dann [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{cos(-h)}{1}[/mm] = 1
> >
> > Somit sind beide GW unterschiedlich
>
> Wegen [mm]-1 \neq 1[/mm]
>
> > und die partielle
> > Ableitung in (0,0) exist nicht. Analog für die partielle
> > Ableitung nach y.
> > Richtig?
>
> Alles gut ansonsten. Die Notations'mängel' oben finde ich
> auch nicht ganz
> so schlimm, weil Du es ja im Text vorher erwähnst (dass
> Du bei [mm]\lim_{h \to 0}...[/mm] dort
> [mm]h < 0[/mm] betrachtest etc. pp.). Man kann es aber
> unmissverständlich notieren,
> damit da niemand noch was muniert. Aber von den
> Überlegungen ist alles:
Normalerweise schreibe ich auch immer 0+ bzw 0-, nur habe ich nirgends gefunden, wie ich das plus oder minus hochstellen kann, deshalb hab ich es weggelassen.
Danke vielmals !
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:56 So 10.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Alles gut ansonsten. Die Notations'mängel' oben finde ich
> > auch nicht ganz
> > so schlimm, weil Du es ja im Text vorher erwähnst
> (dass
> > Du bei [mm]\lim_{h \to 0}...[/mm] dort
> > [mm]h < 0[/mm] betrachtest etc. pp.). Man kann es aber
> > unmissverständlich notieren,
> > damit da niemand noch was muniert. Aber von den
> > Überlegungen ist alles:
>
> Normalerweise schreibe ich auch immer 0+ bzw 0-, nur habe
> ich nirgends gefunden, wie ich das plus oder minus
> hochstellen kann, deshalb hab ich es weggelassen.
danebenschreiben ist auch üblich (manche schreiben tatsächlich auch +0
bzw. -0), aber wenn Du es hochstellen willst:
$0^+$ ($0^+$ oder sauberer [mm] [nomm]$0^{+}[/nomm]$)
[/mm]
> Danke vielmals !
Gerne!
Gruß,
Marcel
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