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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Sa 14.10.2006 | | Autor: | Idale |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{a}^{b}{x²cos(x) dx} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
vorab das ist mein erstes Post (ja, ja auch mich hat die Mathematik zur Verzweiflung getrieben), also falls ich irgendwelche Vorgaben nicht eingehalten oder falsch wiedergegeben habe, bitte ich dies zu entschuldigen...
Nun zu meinem Problem:
Aufgabe NR.1: [mm] \integral_{a}^{b}{x²cos(x) dx}
[/mm]
u = x² u' = 2x
v = sin(x) v' = cos(x)
Meine Rechnung:
1. Schritt [mm] \integral_{a}^{b}{x²cos(x) dx} [/mm] = x² sin(x) - [mm] \integral_{a}^{b}{sin(x) * 2x dx}
[/mm]
2. Schritt [mm] \integral_{a}^{b}{x²cos(x) dx} [/mm] = x²sin(x) - 2 [cos(x) * x + sin(x) * 1] + C
3. Schritt [mm] \integral_{a}^{b}{x²cos(x) dx} [/mm] = x²sin(x) -2xcos(x) - 2sin(x) + C
Das Ergebnis müsste aber eigentlich lauten: x²sin(x) + 2xcos(x) - 2sin(x) + C
Erstens verstehe ich nicht, warum man beim [mm] \integral_{a}^{b}{sin(x) * 2x dx} [/mm] ableitet und nicht integriert, also warum da nicht steht cos(x)* x + sin(x) *x².
Aber nun gut darüber kann ich hingewesen, ich machs einfach so wie es verlangt wird...
...aber selbst wenn ich es so mache, hab ich noch ein Vorzeichenfehler gemacht, aber ich verstehe nicht warum (u. dieses Mal muss ich es wissen), zudem sich dieser Fehler auch bei vielen anderen Aufgaben zeigt...ich mache also etwas grundsätzliches falsch
Hoffe jemand weiß, was ich falsch gemacht habe...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 Sa 14.10.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Idale,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Erstens verstehe ich nicht, warum man
> beim [mm]\integral_{a}^{b}{sin(x) * 2x dx}[/mm] ableitet und nicht integriert,
brauchst Du auch nicht zu verstehen  , natürlich muss man da integrieren! Aber nicht so, wie Du es vorschlägst, denn: Da steht ja noch immer ein Produkt im Integral! Du musst also noch einmal partiell integrieren, so dass das (einzelne) x im Integral ganz verschwindet.
Danach bleibt immer noch ein Integral übrig, in dem aber nur noch ein Cosinus verblieben ist, das musst Du dann auch noch "normal" ausrechnen.
Und ja: Vorzeichenfehler sind hier an der Tagesordnung. Nach der partiellen Integration steht ja ein Minus vor dem verbleibenden Integral und wenn man dieses Integral nochmal partiell integriert, sind natürlich beide daraus entstehenden Teile davon betroffen. Und: bedenke dann beim zweiten partiellen Integrieren, dass die Stammfunktion vom Sinus der negative Cosinus ist, das übersieht man auch gern mal...
> vorab das ist mein erstes Post (ja, ja auch mich hat die
> Mathematik zur Verzweiflung getrieben), also falls ich
> irgendwelche Vorgaben nicht eingehalten oder falsch
> wiedergegeben habe, bitte ich dies zu entschuldigen...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das war schon ganz ok so. Sogar mit der Formel-Eingabe bist Du ja auf Anhieb gut klar gekommen!
> ich mache also etwas grundsätzliches falsch
Naja, die partielle Integration, die man auch Produktintegration nennt, ist eben DIE "Produktregel" für's integrieren. Da da ja zum Teil auch abgeleitet wird, kann man schon mal durcheinanderkommen, wenn man nachträglich Rechenwege nachzuvollziehen versucht oder des Lehrers Bemerkung "...muss hier natürlich abgeleitet werden..." aufschnappt... ![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]")
Schöne Grüße,
ardik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Sa 14.10.2006 | | Autor: | Idale |
Danke erstmal,
aber ich habs anscheinend noch immer nicht ganz verstanden, ich versucht deine Tips auf die konkrete Antwort anzuwenden, doch es nicht ganz so geklappt...
Noch mal Schritt für Schritt:
Bis hier hin hab ich ja alles richtig gemacht (auch wenn es nicht viel ist):
[mm] \integral_{a}^{b}{x²cos(x) dx} [/mm] = x²sin(x) - [mm] \integral_{a}^{b}{sin(x)*2x dx}
[/mm]
Nun muss ich noch einmal die partielle Integration auf [mm] \integral_{a}^{b}{sin(x)*2x dx} [/mm] anwenden? Also noch mal der ganze kram mit u,u' und v,v'?
Aber wenn ich das mache kommt nur Quatsch raus!!!
Ich hab dann soetwas, wie [mm] \integral_{a}^{b}{sin(x)*2x dx} [/mm] = 2xsinx - [-x²sin(x)] und das stimmt überhaupt nicht mit der Lösung überein.
Ach, herrje...wenn das so weiter geht, wo kommen wir dann bloß hin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Sa 14.10.2006 | | Autor: | chrisno |
> Danke erstmal,
>
> aber ich habs anscheinend noch immer nicht ganz verstanden,
> ich versucht deine Tips auf die konkrete Antwort
> anzuwenden, doch es nicht ganz so geklappt...
>
> Noch mal Schritt für Schritt:
>
> Bis hier hin hab ich ja alles richtig gemacht (auch wenn es
> nicht viel ist):
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{x²cos(x) dx}[/mm] = x²sin(x) -
> [mm]\integral_{a}^{b}{sin(x)*2x dx}[/mm]
>
> Nun muss ich noch einmal die partielle Integration auf
> [mm]\integral_{a}^{b}{sin(x)*2x dx}[/mm] anwenden? Also noch mal der
> ganze kram mit u,u' und v,v'?
>
> Aber wenn ich das mache kommt nur Quatsch raus!!!
>
> Ich hab dann soetwas, wie [mm]\integral_{a}^{b}{sin(x)*2x dx}[/mm] =
> 2xsinx - [-x²sin(x)] und das stimmt überhaupt nicht mit der
> Lösung überein.
Ganz ruhig. Schreib mal Dein u und v' hin und dann siehst Du schon den Fehler.
>
> Ach, herrje...wenn das so weiter geht, wo kommen wir dann
> bloß hin
>
>
>
>
>
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Hallihallo!
Habe mir das folgendermassen überlegt:
Wir haben irgendeine Funktion f(x) = u(x) v(x). Nehmen wir einmal an für ihre Integration gelte:
u'(x) v(x) + u(x) V(x) - u''(x) V(x)
Das grosse V ist die Stammfunktion von v(x)
Jetzt leiten wir das ganze mal ab und schauen, ob wir u(x) v(x) kriegen. Dabei benützen wir die Produktregel:
u''(x) v(x) + u'(x) v'(x) + u'(x) V(x) + v(x) u(x) - u'''(x) v(x) - v(x) u''(x)
Wir haben eine spezielle Funktion vor uns:
u'''(x) = 0, weil u(x) = [mm] x_{2}, [/mm] also ist u'(x) = 2 x und somit u''(x) = 2 und u''' = 0
Also fällt in der fetten Gleichung der Term mit u'''(x) schon mal weg und es bleibt noch übrig:
u''(x) v(x) + u'(x) v'(x) + u'(x) V(x) + v(x) u(x) - v(x) u''(x)
Jetzt fällt aber wieder etwas weg, nämlich der erste und der letzte Teil, die sich aufheben und wir bekommen:
u'(x) v'(x) + u'(x) V(x) + v(x) u(x)
Nun, das sieht noch nicht sehr gut aus.
Aber unsere Funktion ist aber noch spezieller. Denn wenn du cos x ableitest erhältst du - sin x, wenn du aber cos x integrierst, erhältst du sin x. Die Ableitung von cos x ist also Minus die Integration von
cos x.
Es gilt also:
v'(x) = - V(x)
Wenn du das in die letzte Gleichung eingibst, heben sich die zwei ersten Teile auch auf und es bleibt nur noch
v(x) u(x) übrig, das, was wir wollten.
Das heisst somit, dass die Integration, die wir am Anfang nur angenommen haben, tatsächlich stimmt für unseren Fall.
Jetzt ist es aber nicht mehr schwierig.
u'(x) v(x) + u(x) V(x) - u''(x) V(x)
Fangen wir mal bei u'(x) an, das ist gleich 2x, dann ist aber u''(x) = 2
V(x) ist sin x
Jetzt hast du alles, was du brauchst. Setze also ein und du solltest folgendes erhalten:
F(x) = 2 x cos x + [mm] x^{2} [/mm] sin x - 2 sin x
Hoffe es klappt, Grüsse jackie
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Hallihallo!
Habe mir das folgendermassen überlegt:
Wir haben irgendeine Funktion f(x) = u(x) v(x). Nehmen wir einmal an für ihre Integration gelte:
u'(x) v(x) + u(x) V(x) - u''(x) V(x)
Das grosse V ist die Stammfunktion von v(x)
Jetzt leiten wir das ganze mal ab und schauen, ob wir u(x) v(x) kriegen. Dabei benützen wir die Produktregel:
u''(x) v(x) + u'(x) v'(x) + u'(x) V(x) + v(x) u(x) - u'''(x) v(x) - v(x) u''(x)
Wir haben eine spezielle Funktion vor uns:
u'''(x) = 0, weil u(x) = [mm] x^{2}, [/mm] also ist u'(x) = 2 x und somit u''(x) = 2 und u''' = 0
Also fällt in der fetten Gleichung der Term mit u'''(x) schon mal weg und es bleibt noch übrig:
u''(x) v(x) + u'(x) v'(x) + u'(x) V(x) + v(x) u(x) - v(x) u''(x)
Jetzt fällt aber wieder etwas weg, nämlich der erste und der letzte Teil, die sich aufheben und wir bekommen:
u'(x) v'(x) + u'(x) V(x) + v(x) u(x)
Nun, das sieht noch nicht sehr gut aus.
Aber unsere Funktion ist aber noch spezieller. Denn wenn du cos x ableitest erhältst du - sin x, wenn du aber cos x integrierst, erhältst du sin x. Die Ableitung von cos x ist also Minus die Integration von
cos x.
Es gilt also:
v'(x) = - V(x)
Wenn du das in die letzte Gleichung eingibst, heben sich die zwei ersten Teile auch auf und es bleibt nur noch
v(x) u(x) übrig, das, was wir wollten.
Das heisst somit, dass die Integration, die wir am Anfang nur angenommen haben, tatsächlich stimmt für unseren Fall.
Jetzt ist es aber nicht mehr schwierig.
u'(x) v(x) + u(x) V(x) - u''(x) V(x)
Fangen wir mal bei u'(x) an, das ist gleich 2x, dann ist aber u''(x) = 2
V(x) ist sin x
Jetzt hast du alles, was du brauchst. Setze also ein und du solltest folgendes erhalten:
F(x) = 2 x cos x + [mm] x^{2} [/mm] sin x - 2 sin x
Hoffe es klappt, Grüsse jackie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 So 15.10.2006 | | Autor: | Idale |
Achherje ich habs immer noch nicht gerafft...
Ich zeige einfach mal, wie ich jetzt nach euren Hinweisen vorgegangen bin:
[mm] \integral_{a}^{b}{x²cos(x) dx} [/mm] = x²sin(x) - [mm] \integral_{a}^{b}{sin(x) * 2x dx}
[/mm]
So weit so gut...
Jetzt muss ich noch [mm] \integral_{a}^{b}{sin(x) * 2x dx} [/mm] integrieren.
Dafür wende ich diese Formel: uv' = uv - [mm] \integral_{a}^{b}{vu' dx}
[/mm]
u = 2x v = -cos(x)
u = 2 v' = sin(x)
Wenn ich jetzt das einsetzte, hätte ich meiner Meinung nach das hier:
[mm] \integral_{a}^{b}{sin(x) * 2x dx} [/mm] = -2xcos(x) - [mm] \integral_{a}^{b}{-cos(x)2 dx}
[/mm]
umgeformt u. [mm] integriert:\integral_{a}^{b}{sin(x) * 2x dx} [/mm] = -2xcos(x) + 2xsin(x)
Oben eingesetzt:
[mm] \integral_{a}^{b}{x²cos(x) dx} [/mm] = x²sin(x) - (-2xcos(x) + 2xsin(x))
gleich: [mm] \integral_{a}^{b}{x²cos(x) dx} [/mm] = x²sin(x) +2xcos(x) - 2xsin(x)
Leider Gottes, immer noch ein x zu viel drin!
Peu à peu kriege ich mehr auf die Reihe, aber das gelbe vom Ei ist es immer noch nicht...
Hoffe ihr könnt mir beim (hoffentlich) letzten Fehler, den ich gemacht habe, weiterhelfen...
Danke für die bisherige Hilfe (hat sich auf jeden Fall gelohnt, sich hier im Forum zu registieren)
MFG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 So 15.10.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Idale,
> Wenn ich jetzt das einsetzte, hätte ich meiner Meinung nach
> das hier:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{sin(x) * 2x dx} = -2xcos(x) - \integral_{a}^{b}{-cos(x)2 dx}[/mm]
> umgeformt u. integriert:[mm]\integral_{a}^{b}{sin(x) * 2x dx}= -2xcos(x) + 2\red{x}sin(x)[/mm]
Na, wo kommt denn das (von mir) rot gefärbte x her?
[mm] $\integral{-\cos(x)2 dx}=-2\integral{\cos(x) dx}=-2\sin [/mm] x +C$
Übrigens noch was zur korrekten Schreibweise:
Wenn Du am Integral Grenzen angibst, dann musst Du sie hinterm Gleichheitszeichen auch einsetzen. Wenn Du nur die Stammfunktion darstellen willst, lass lieber auch vorn die Grenzen weg (und ergänze genaugenommen hinten das C o.ä.) oder verwende eine "Stammfunktion-mit-Grenzen-Schreibweise" (z.B. [mm] $\left[-2\sin x\right]_a^b$).
[/mm]
Schöne Grüße,
ardik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 So 15.10.2006 | | Autor: | Idale |
Danke Ardrik für die Antwort,
also ich dachte, [mm] \integral{-cos(x)2 dx} [/mm] integriert wäre: -sin(x) * 2x
Hab mich da an die Grundintegrale im Tafelwerk gehalten:
[mm] \integral_{}{a dx} [/mm] = ax + c
[mm] \integral_{}{cos(x) dx} [/mm] sin(x)
Aber anscheinend leite ich auf und nicht ab...wird ja alles seine Richtigkeit haben, ist ja schließlich alles loglisch, wie man in der Mathematik so schön sagt :)
Danke, Danke für die prompten Antworten, bin jetzt zumindest einbisschen schlauer als vorher, hehe
MFG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 So 15.10.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Idale,
> also ich dachte, [mm]\integral{-cos(x)2 dx}[/mm] integriert wäre: $-sin(x) * 2x$
neineineineinein!
1. Stammfunktion Bilden ist ja sozusagen das Gegenteil vom Ableiten.
Was passiert beim Ableiten mit einem konstanten Faktor?
Wie unterscheiden sich die Ableitungen von z.B. [mm] $x^3$ [/mm] und [mm] $5*x^3$?
[/mm]
Genau! Also bleibt auch beim "Aufleiten" ein konstanter Faktor unverändert erhalten (oder kann "rausgezogen" werden, was auf's gleiche hinausläuft).
2. Aber ebenso wie Du auch [mm] $5*x^3$ [/mm] nach der Produktregel ableiten könntest, wenn Du wolltest (Ableitung von $g(x)=5$ ist ja $g'(x)=0$), so könntest Du freilich auch obiges Integral entsprechend berechnen (mach's ruhig mal als "Fingerübung"). Aber: Dann musst Du doch auch wieder die "Produktregel des Integrierens", die geschätzte partielle Integration, anwenden und nicht einfach die beiden Faktoren einzeln "aufleiten"! Und da die Ableitung von 2 ja gleich 0 ist, läuft das dann letztlich wieder darauf hinaus, dass der konstante Faktor unverändert erhalten bleibt.
Schöne Grüße,
ardik
>
> Hab mich da an die Grundintegrale im Tafelwerk gehalten:
> [mm]\integral_{}{a dx}[/mm] = ax + c
> [mm]\integral_{}{cos(x) dx}[/mm] sin(x)
>
> Aber anscheinend leite ich auf und nicht ab...wird ja alles
> seine Richtigkeit haben, ist ja schließlich alles loglisch,
> wie man in der Mathematik so schön sagt :)
>
> Danke, Danke für die prompten Antworten, bin jetzt
> zumindest einbisschen schlauer als vorher, hehe
>
> MFG
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:07 So 15.10.2006 | | Autor: | Idale |
Juhu, ich habs verstanden, zumindest vorläufig, habs gleich mal auf eine weitere Aufgabe angewendet und siehe da, es war richtig!!!
Morgen gehts für mich los mit der Uni und ein Semster Mathe ist auch dabei, also werde ich bestimmt ein Semster lang noch Fragen stellen :)
MFG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 So 15.10.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Idale,
> Also noch mal der ganze kram mit u,u' und v,v'?
Ja.
aber es zwingt Dich keiner, den ersten Faktor "auf-" und den zweiten abzuleiten. Dann erhältst Du allerdings Käse, nämlich das gleiche Integral wie am Anfang. Aber Faktoren darf man ja beliebig vertauschen.
Und darin liegt hier der Trick der wiederholten partiellen Integration. Durch das darin enthaltene wiederholte Ableiten wird aus [mm] $x^2$ [/mm] zunächst $2x$ und schließlich verschwindet das x ganz. Aufgeleitet wird dabei immer die Winkelfunktion, und die wird ja dadurch nicht komplizierter.
Schöne Grüße,
ardik
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