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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 So 04.01.2009 | | Autor: | Yuumura |
| Aufgabe | Benutze die partielle Integration und denke daran, dass [mm] $(\sin x)^2 +(\cos x)^2 [/mm] = 1$
[mm] \integral{\sin^2 x dx} [/mm] |
[mm] \integral{\sin^2 x dx}
[/mm]
Benutze die partielle Integration und denke daran, dass [mm] $(\sin x)^2 +(\cos x)^2 [/mm] = 1$
Moin,
Ich hab eine frage zu dieser Aufgabe.
Und zwar habe ich [mm] sin^2 [/mm] x zu meinem v' und x zu meinem u gemacht, weil ja x abgeleitet 1 ergibt und ich [mm] sin^2 [/mm] x einfacher hochleiten kann als x, dachte ich mir.
So dann hatte ich nach der formel v * u - [mm] \integral{ u' * v dx}
[/mm]
[mm] -\cos^2 [/mm] x - [mm] \integral{ - \cos^1 * 1 dx}
[/mm]
Und irgendwie fehlt mir ein x, da x abgeleitet ja 1 ergibt.
Somit habe ich dann da stehen $- [mm] \cos^2 [/mm] x - [mm] \sin^2$ [/mm] ...
wenn ich noch ein x hätte, würde es ja aufgehen und ich hätte [mm] $\cos^2 [/mm] x + [mm] \sin^2 [/mm] x$ und das ergebnis wäre 1.
Nur bei den Vorzeichen bin ich mir nicht ganz sicher.
sin hochgeleitet ist ja -cos
und cos hochgeleitet ist sin
Wie verhält es sich wenn ich -cos hochleite ist dass dann auch sin oder -sin wegen dem vorzeichen ?
Und kann man eigentlich [mm] $\sin^2$ [/mm] und [mm] $\cos^2$ [/mm] so ohne weiteres hochleiten, ohne dass sich der exponent ^2 ändert ?
Danke im Vorraus !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:13 So 04.01.2009 | | Autor: | Yuumura |
beachtet dass f(x) bitet nicht nach dem Integral, das habe ich durcheinander gebracht mit dem Editor.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:33 So 04.01.2009 | | Autor: | ardik |
Hallo Yuumura,
> beachtet dass f(x) bitet nicht nach dem Integral, das habe
> ich durcheinander gebracht mit dem Editor.
Habe ich als Moderator mal eben korrigiert und dabei auch die Integralgrenzen entfernt (und nebenbei die Formeln etwas „aufgehübscht“).
Du kannst übrigens Deine eigenen Beiträge jederzeit nachträglich bearbeiten.
Schöne Grüße
ardik
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 So 04.01.2009 | | Autor: | ardik |
Hallo Yuumura,
> Wie verhält es sich wenn ich -cos hochleite ist dass dann
> auch sin oder -sin wegen dem vorzeichen ?
Ja, wegen des  Vorzeichens ist es -sin, was Du Dir leicht folgendermaßen deutlich machen kannst:
$f(x) = [mm] -\cos [/mm] x = -1* [mm] \cos [/mm] x$
$F(x) = -1 * [mm] \sin [/mm] x$
> Und kann man eigentlich [mm]\sin^2[/mm] und [mm]\cos^2[/mm] so ohne weiteres
> hochleiten, ohne dass sich der exponent ^2 ändert ?
Neinneinnein!
Wenn Du Dir nicht sicher bist, ob eine Stammfunktion passt, dann leite sie einfach zur Probe wieder ab, das ist ja oft viel eindeutiger.
Und wenn Du $f(x) = [mm] \cos^2x$ [/mm] ableiten willst, musst Du natürlich (!) entweder die Kettenregel oder die Produktregel anwenden.
Das hast Du übrigens auch bei
> [mm]-\cos^2[/mm] x - [mm]\integral{ - \cos^1 * 1 dx}[/mm]
übersehen.
Schöne Grüße
ardik
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Hallo,
Es ist:
[mm] \integral_{}^{}{sin²x dx} [/mm] partiell zu integrieren. Schreibe dann als Produkt:
[mm] \integral_{}^{}{sin(x)\cdot\\sin(x) dx}
[/mm]
Nun ist
[mm] u=\\sin(x)
[/mm]
[mm] u'=\\cos(x)
[/mm]
[mm] v'=\\sin(x)
[/mm]
[mm] v=\\-cos(x)
[/mm]
Nach partieller Integrationsregel gilt dann:
[mm] \integral_{}^{}{sin²x dx}=-sin(x)\cdot\\cos(x)+\integral_{}^{}{cos²(x) dx}=-sin(x)\cdot\\cos(x)+\integral_{}^{}{1-sin²(x) dx}=-sin(x)\cdot\\cos(x)+\integral_{}^{}{1 dx}-\integral_{}^{}{sin²(x)dx}
[/mm]
Nun bringe ich das letzte Integral auf die linke Seite dann habe ich stehen:
[mm] 2\cdot\integral_{}^{}{sin²(x)dx}=-sin(x)\cdot\\cos(x)+\integral_{}^{}{1 dx}=-sin(x)\cdot\\cos(x)+x
[/mm]
Nun noch durch 2 teilen damit die 2 links vom gleichheitsszeichen verschwindet dann erhalte ich als Stammfunktion:
[mm] \\F(x)=\bruch{-sin(x)\cdot\\cos(x)+x}{2}
[/mm]
Nun kannst du [mm] \\F(x) [/mm] ableiten und du wirst feststellen, dass [mm] \\F'(x)=f(x) [/mm] ist und somit [mm] \\F(x) [/mm] die gesuchte Stammfunktion ist 
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 So 04.01.2009 | | Autor: | Yuumura |
ichversteh nicht, woher deine 1 kommen und die 2..
Die Formel heisst u * v [mm] \integral_{}^{}{ u' * v dx}
[/mm]
also sin (x) * (- cos (x) ) - [mm] \integral_{}^{}{ cos (x) * (- cos (x)) dx}
[/mm]
Und dann ganz einfach nach der Formel ausmultiplizieren ?
Ic h verstehe nicht, was du da gemacht hast.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 So 04.01.2009 | | Autor: | Yuumura |
Ich verstehe leider überhaupt nicht, was du getan hast und was für eine Überlegung dahinter steckt.
Ich kenne nur die Formel der Partiellen Integration und kann sie nur anwenden..
danke an den Mod für den Hinweis, aber wo ist der edit button ? Ich seh nur "reagieren" und "print"...
Danke im vorraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 So 04.01.2009 | | Autor: | ardik |
Hallo Yuumura,
> danke an den Mod für den Hinweis, aber wo ist der edit
> button ? Ich seh nur "reagieren" und "print"...
klick auf "reagieren" - danach findest Du auch einen Button mit "Bearbeite Deinen Artikel" (oder so ähnlich).
Du kannst Dir eine Diskussion ja in verschiedenen Ansichten anzeigen lassen. Lediglich wenn Du "einzeln" gewählt hast, ist der bearbeiten-Button direkt vorhanden.
Schöne Grüße
ardik
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Hi,
> Ich verstehe leider überhaupt nicht, was du getan hast und
> was für eine Überlegung dahinter steckt.
> Ich kenne nur die Formel der Partiellen Integration und
> kann sie nur anwenden..
>
Richtig und mehr brauchst du nicht. Du musst wissen wie die partielle Integration funktioniert und dann solltest du noch mit dem Hinweis [mm] \\sin²(x)+cos²(x)=1 [/mm] arbeiten. Und dann noch den Trick anwenden, dass du dass letze Integral auf die Linke Seite bringst. Mehr brauchst du wirklich nicht.
> danke an den Mod für den Hinweis, aber wo ist der edit
> button ? Ich seh nur "reagieren" und "print"...
>
Du gehst auf den "reagieren" Button von deinem Post und dann klickst du auf den Button der glaube ich gelb ist aus "Den Artikel bearbeiten"
Gruß
> Danke im vorraus
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Hallo,
> ichversteh nicht, woher deine 1 kommen und die 2..
>
Im Integral stand ja [mm] \\cos²(x) [/mm] und nach dem trigonometrischen Pythagoras [mm] (\\sin²(x)+cos²(x)=1) [/mm] gilt wenn du nach [mm] \\cos²(x) [/mm] umstellst genau [mm] \\cos²(x)=\red{1}-sin²(x)
[/mm]
> Die Formel heisst u * v [mm]\integral_{}^{}{ u' * v dx}[/mm]
>
Genau so lautet die
> also sin (x) * (- cos (x) ) - [mm]\integral_{}^{}{ cos (x) * (- cos (x)) dx}[/mm]
>
Ob du nun [mm] \\sin(x)\cdot(-cos(x)) [/mm] oder [mm] -sin(x)\cdot\\cos(x) [/mm] schreinst ist doch egal. [mm] 1\cdot\\(-2) [/mm] ist ja auch schliesslich das selbe wie [mm] \\-1\cdot\\2.
[/mm]
> Und dann ganz einfach nach der Formel ausmultiplizieren ?
> Ic h verstehe nicht, was du da gemacht hast.
Was genau verstehst du da nicht?
Bis zu welchem Schritt bist du mitbekommen? Es ist für mich leichter dir zu helfen wenn du mir sagst was du nicht verstanden hast anstatt dass ich noch mal den kompletten Rechenweg hier poste.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 So 04.01.2009 | | Autor: | Yuumura |
Ok ich verstehe, dass 1- [mm] sin^2 [/mm] x = [mm] cos^2 [/mm] x ist, aber nicht warum du das machst bei 1 und wieso du nicht mit [mm] cos^2 [/mm] weiterrechnest.
Außerdem versteh ich nicht wieso bei 2. das sin^2x auf der linken seite dann aufeinmal verschwindet ?
Ich hab nach der Formel einfach stur -sin (x) * cos (x) + [mm] sin^2 [/mm] (x)
rausbekommen. Ohne irgendwelche Umformungen und Gedanken um [mm] cos^2 [/mm] + [mm] sin^2 [/mm] = 1 *g* Kann man das nicht einfach so stehen lassen was ich raushabe ?
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Hallo,
> Ok ich verstehe, dass 1- [mm]sin^2[/mm] x = [mm]cos^2[/mm] x ist, aber nicht
> warum du das machst bei 1 und wieso du nicht mit [mm]cos^2[/mm]
> weiterrechnest.
>
Ich kann auch mit [mm] \\cos²(x) [/mm] weiterrechnen nur drehe ich mich dann immer im Kreis und komme nicht auf das gewünschte Ergebnis.
> Außerdem versteh ich nicht wieso bei 2. das sin^2x auf der
> linken seite dann aufeinmal verschwindet ?
> Ich hab nach der Formel einfach stur -sin (x) * cos (x) +
> [mm]sin^2[/mm] (x)
> rausbekommen. Ohne irgendwelche Umformungen und Gedanken
> um [mm]cos^2[/mm] + [mm]sin^2[/mm] = 1 *g* Kann man das nicht einfach so
> stehen lassen was ich raushabe ?
Du kannst nicht einfach schreiben dass die Stammfunktion von [mm] \\cos²(x) [/mm] gerade [mm] \\sin²(x) [/mm] ist denn das ist falsch. Leote doch mal [mm] \\sin²(x) [/mm] ab. Es kommt nicht [mm] \\cos²(x) [/mm] heraus sonder [mm] \\2\cdot\\sin(x)\cdot\\cos(x).
[/mm]
Ich mache es noch einmal:
[mm] \integral_{}^{}{sin²(x)dx}=-\\sin(x)\cdot\\cos(x)+\integral_{}^{}{\blue{cos²(x)}dx}
[/mm]
Nun gilt nach dem tr. Pythagoras:
[mm] \\sin²(x)+\blue{cos²(x)}=1 \gdw \blue{cos²(x)}=1-sin²(x)
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{sin²(x)dx}=-\\sin(x)\cdot\\cos(x)+\integral_{}^{}{1-sin²(x)dx}
[/mm]
Jetzt kann ich [mm] \integral_{}^{}{1-sin²(x)dx} [/mm] aufspalten zu [mm] \integral_{}^{}{1dx}-\integral_{}^{}{sin²(x)dx}, [/mm] Dann steht da:
[mm] \green{\integral_{}^{}{sin²(x)dx}}=-\\sin(x)\cdot\\cos(x)+\integral_{}^{}{1dx}-\green{\integral_{}^{}{sin²(x)dx}}
[/mm]
Nun schau dir mal die beiden grünen Integrale an. Beide sind gleich bis auf das Vorzeichen. Da ich da eine Gleichung stehen habe rechne ich [mm] \green{+\integral_{}^{}{sin²(x)dx}} [/mm] um es auf die linke Seite des Gleichheitszeichen zu bringen. [mm] \integral_{}^{}{sin²(x)dx}+\integral_{}^{}{sin²(x)dx}=2\cdot\integral_{}^{}{sin²(x)dx}
[/mm]
Also:
[mm] 2\cdot\integral_{}^{}{sin²(x)dx}=-\\sin(x)\cdot\\cos(x)+\integral_{}^{}{1dx}
[/mm]
Die Stammfunktion von 1 ist ja [mm] \\x, [/mm] also folgt:
[mm] 2\cdot\integral_{}^{}{sin²(x)dx}=-\\sin(x)\cdot\\cos(x)+x
[/mm]
Jetzt bich ich aber nicht an [mm] 2\cdot\integral_{}^{}{sin²(x)dx} [/mm] interessiert sondern nur an [mm] \integral_{}^{}{sin²(x)dx} [/mm] deswegen muss ich noch durch [mm] \\2 [/mm] teilen.
Also habe ich: [mm] \integral_{}^{}{sin²(x)dx}=\bruch{-\\sin(x)\cdot\\cos(x)+x}{2}
[/mm]
ok?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 So 04.01.2009 | | Autor: | Yuumura |
LOL
ok, ja, war bissl blöd von mir...
Tausend Dank für Deine Mühe <3 ^^
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