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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Mi 14.04.2010 | | Autor: | StefanK. |
| Aufgabe | Integrieren Sie zweimal partiell und stellen Sie es schließlich als Rekursion dar.
[mm] \integral_{a}^{b}{x^{a}*sin(x) dx} [/mm] |
Hallo, iwie will mir diese Aufgabe nicht gelingen. Wenn ich doch partiell integriere, erhalte ich:
[mm] \integral_{a}^{b}{x^{a}*sin(x) dx}
[/mm]
= [mm] -x^{a}*cos(x) [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{ax^{a-1}*cos(x) dx}
[/mm]
So, wenn ich jetzt erneut partiell integriere, kann ich doch [mm] ax^{a-1} [/mm] "aufleiten" und cos(x) wieder ableiten, oder nicht?!?
Das hieße dann:
[mm] -x^{a}*cos(x) [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{ax^{a-1}*cos(x) dx}
[/mm]
= [mm] -x^{a}*cos(x) +[x^{a}*cos(x) [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{x^{a}*sin(x) dx}]
[/mm]
= [mm] -x^{a}*cos(x) [/mm] + [mm] x^{a}*cos(x) [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{x^{a}*sin(x) dx}
[/mm]
= 0 + [mm] \integral_{a}^{b}{x^{a}*sin(x) dx}
[/mm]
Heißt das jetzt, dass ich das Integral nicht ableiten kann, bzw. dass die Ableitung wiederum dem Integral entspricht?!? Irgendwie verstehe ich diese Aufgabe nicht und ich mache bestimmt einen Fehler. Ich hoffe, ihr könnt mir dabei helfen...
Viele Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 Mi 14.04.2010 | | Autor: | nooschi |
wenn man zweimal partiell integriert und nicht beides mal dieselbe Funktion ableitet, macht man beim zweiten Schritt genau das wieder rückgängig was man im ersten Schritt gemacht hat, man bekommt I=I (also gar nichts brauchbares :P)
du musst beides mal den [mm] x^a [/mm] Ausdruck ableiten und das cos/sin Zeugs aufleiten. wenn das a in [mm] x^a [/mm] kein a sondern eine natürliche Zahl n wäre, würde der zweite Aufgabenteil mit der Rekursion für mich auch Sinn machen, wenn du nämlich zweimal abgeleitet hast bekommst du sowas: [mm] $$I_n [/mm] = [mm] c_1 [/mm] + [mm] c_2 [/mm] * [mm] I_{n-2} [/mm] $$ wobei das I soll das Intervall sein, das du berechnen sollst und [mm] c_1, c_2 [/mm] irgendwelche Konstanten, bzw eventuell auch abhängig von n. Wenn du das nicht verstehst schreib nochmal, dann führe ich die Rechnung ganz aus...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Mi 14.04.2010 | | Autor: | StefanK. |
Erstmal danke für deine schnelle Antwort. Ja, ich habe mir auch schon sowas gedacht und es jetzt gerade mal so ausprobiert, wie du es vorgeschlagen hast. Dann erhalte ich:
$ [mm] -x^{a}\cdot{}cos(x) [/mm] $ + $ [mm] \integral_{a}^{b}{ax^{a-1}\cdot{}cos(x) dx} [/mm] $
= [mm] -x^{a}*cos(x) [/mm] + [mm] ax^{a-1}*sin(x) [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{a*(a-1)x^{a-2}*sin(x) dx}
[/mm]
= [mm] -x^{a}*cos(x) [/mm] + [mm] ax^{a-1}*sin(x) [/mm] - [mm] (a^{2}-a) [/mm] * [mm] \integral_{a}^{b}{a*(a-1)x^{a-2}*sin(x) dx}
[/mm]
So, jetzt definierst du dir den Quatsch einfach als:
[mm] c_{1}=-x^{a}*cos(x) [/mm] + [mm] ax^{a-1}*sin(x)
[/mm]
[mm] c_{2}=- (a^{2}-a)
[/mm]
und erhältst:
[mm] I_{n}=c_{1}+c_{2}*I_{n-2}
[/mm]
Verstehe ich das so richtig?
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Hi,
> Erstmal danke für deine schnelle Antwort. Ja, ich habe mir
> auch schon sowas gedacht und es jetzt gerade mal so
> ausprobiert, wie du es vorgeschlagen hast. Dann erhalte
> ich:
> [mm]-x^{a}\cdot{}cos(x)[/mm] +
> [mm]\integral_{a}^{b}{ax^{a-1}\cdot{}cos(x) dx}[/mm]
> =
> [mm]-x^{a}*cos(x)[/mm] + [mm]ax^{a-1}*sin(x)[/mm] -
> [mm]\integral_{a}^{b}{a*(a-1)x^{a-2}*sin(x) dx}[/mm]
> =
> [mm]-x^{a}*cos(x)[/mm] + [mm]ax^{a-1}*sin(x)[/mm] - [mm](a^{2}-a)[/mm] *
> [mm]\integral_{a}^{b}{a*(a-1)x^{a-2}*sin(x) dx}[/mm]
Hier hast du einen Faktor a*(a-1) zu viel.
> So, jetzt definierst du dir den Quatsch einfach als:
> [mm]c_{1}=-x^{a}*cos(x)[/mm] + [mm]ax^{a-1}*sin(x)[/mm]
> [mm]c_{2}=- (a^{2}-a)[/mm]
> und erhältst:
> [mm]I_{n}=c_{1}+c_{2}*I_{n-2}[/mm]
> Verstehe ich das so richtig?
Mhh... kannst du so machen, bringt dich aber im Endeffekt nicht weiter, da du ja am Ende ohnehin die Definition der Konstanten wieder auskramen musst. Kannst dus also auch gleich stehen lassen.
Ansonsten stimmts.
Lg
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