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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Di 02.10.2007 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | "gedämpfte Schwingung"
Die Funktion f(t)= [mm] 3*e^{-0,1t}* [/mm] sin(t) ist definiert für alle t [mm] \ge [/mm] 0.
a) Es sollen die Stellen [mm] t=2k\pi [/mm] betrachtet werden. Ab welchem k ist die Steigung kleiner 0,1?
b) Bilden Sie das Integral ohne Integralzeichen von
[mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt}
[/mm]
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Moin,
zu a) habe ich zwei Fragen.
Mein Ansatz mit einer Wertetabelle liefert, dass ab k=6
die Steigung kleiner als 0,1 wird.
f(t)= [mm] 3*e^{-0,1t}* [/mm] sin(t)
f'(t) = [mm] -0,3e^{-0,1t}*sin(t) [/mm] + [mm] 3e^{-0,1t}*cos(t)
[/mm]
bzw.
f'(t) = [mm] e^{-0,1t}* [/mm] (-0,3*sin(t) +3*cos(t))
An den Stellen [mm] 2k\pi [/mm] ist hier jeweils der sin =0 und der cos =1 =>
d.h. der faktor (-0,3*sin(t) +3*cos(t)) = 3
Wenn ich aber als Grenzfall 0,1 = f'(t) betrachte, dann nach t auflösen will...
0,1 = [mm] e^{-0,1t}* [/mm] (-0,3*sin(t) +3*cos(t))
ln 0,1 = -0,1t * (-0,3*sin(t) +3*cos(t))
-2,3 = -0,1t * (-0,3*sin(t) +3*cos(t))
führt aber zu t =7,68 bzw. zu k = 1,22 ???
mache ich da was falsch?
zu b)
[mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{x}{3*e^{-0,1t}* sin(t) dt}
[/mm]
hier finde ich keine "einfache" zerlegung, die ich für meine partielle integration brauche... z.b.
[mm] u(t)=3*e^{-0,1t}
[/mm]
v'(t)=sin(t)
=> u'(t)= [mm] -0,3*e^{-0,1t}
[/mm]
v(t)=-cos(t)
[mm] \integral_{0}^{x}{u*v' dt} [/mm] = [u*v] - [mm] \integral_{0}^{x}{u'*v dt}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] = [mm] [3*e^{-0,1t}* [/mm] sin(t)] - [mm] \integral_{0}^{x}{-0,3*e^{-0,1t}* (-cos(t)) dt}
[/mm]
und den summanden
[mm] \integral_{0}^{x}{-0,3*e^{-0,1t}* (-cos(t)) dt}
[/mm]
kann ich dann wieder partiell integrieren, endlos! d.h. ohne, dass sich eine vereinfachung ergibt!
gibt es da irgendwelche tricks? ideen? usw.?
danke
gruß
wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:28 Di 02.10.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> "gedämpfte Schwingung"
>
> Die Funktion f(t)= [mm]3*e^{-0,1t}*[/mm] sin(t) ist definiert für
> alle t [mm]\ge[/mm] 0.
>
> a) Es sollen die Stellen [mm]t=2k\pi[/mm] betrachtet werden. Ab
> welchem k ist die Steigung kleiner 0,1?
>
> b) Bilden Sie das Integral ohne Integralzeichen von
>
> [mm]\integral_{0}^{x}{f(t) dt}[/mm]
>
>
> Moin,
>
> zu a) habe ich zwei Fragen.
>
> Mein Ansatz mit einer Wertetabelle liefert, dass ab k=6
>
> die Steigung kleiner als 0,1 wird.
>
> f(t)= [mm]3*e^{-0,1t}*[/mm] sin(t)
>
> f'(t) = [mm]-0,3e^{-0,1t}*sin(t)[/mm] + [mm]3e^{-0,1t}*cos(t)[/mm]
>
> bzw.
>
> f'(t) = [mm]e^{-0,1t}*[/mm] (-0,3*sin(t) +3*cos(t))
Das stimmt.
>
> An den Stellen [mm]2k\pi[/mm] ist hier jeweils der sin =0 und der
> cos =1 =>
Korrekt.
>
> d.h. der faktor (-0,3*sin(t) +3*cos(t)) = 3
Ja.
>
> Wenn ich aber als Grenzfall 0,1 = f'(t) betrachte, dann
> nach t auflösen will...
Du darfst hier nicht nach t auflösen! Du sollst doch für [mm] $t=2k\pi$ [/mm] einsetzen. Und dann musst du nach k auflösen, und nicht nach t.
Oder du setzt dann hinterher für t das oben genannte ein.
>
> 0,1 = [mm]e^{-0,1t}*[/mm] (-0,3*sin(t) +3*cos(t))
>
> ln 0,1 = -0,1t * (-0,3*sin(t) +3*cos(t))
>
> -2,3 = -0,1t * (-0,3*sin(t) +3*cos(t))
>
> führt aber zu t =-1,99 ???
>
> mache ich da was falsch?
S.h. oben.
>
>
> zu b)
>
> [mm]\integral_{0}^{x}{f(t) dt}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{x}{3*e^{-0,1t}* sin(t) dt}[/mm]
>
> hier finde ich keine "einfache" zerlegung, die ich für
> meine partielle integration brauche... z.b.
>
> [mm]u(t)=3*e^{-0,1t}[/mm]
>
> v'(t)=sin(t)
>
> => u'(t)= [mm]-0,3*e^{-0,1t}[/mm]
>
> v(t)=-cos(t)
>
> [mm]\integral_{0}^{x}{u*v' dt}[/mm] = [u*v] - [mm]\integral_{0}^{x}{u'*v dt}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{x}{f(t) dt}[/mm] = [mm][3*e^{-0,1t}*[/mm] sin(t)] -
> [mm]\integral_{0}^{x}{-0,3*e^{-0,1t}* (-cos(t)) dt}[/mm]
>
> und den summanden
>
> [mm]\integral_{0}^{x}{-0,3*e^{-0,1t}* (-cos(t)) dt}[/mm]
>
> kann ich dann wieder partiell integrieren, endlos! d.h.
> ohne, dass sich eine vereinfachung ergibt!
>
> gibt es da irgendwelche tricks? ideen? usw.?
Du musst hier ganz einfach zweimal integrieren. Das erste mal bekommst du aus dem Sinus einen Cosinus. Dann aus dem Cosinus im Integral ein -Sinus. Also steht dann da hinterher in dem Integral etwas wie -sin * e hoch irgendetwas.
Das ist dann dein Ausgangsintegral, dass du dann nur noch auf die andere Seite addieren musst, und dann durch zwei teilen musst.
Also: Erst den Sinus so behandeln, dass er als Cosinus im Integral steht. Dann den Cosinus so behandeln, dass er am Ende als minus Sinus im Integral steht, und dann bist du fertig.
LG
Kroni
>
> danke
> gruß
> wolfgang
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 Mi 03.10.2007 | | Autor: | hase-hh |
zu a) habe ich zwei Fragen.
Mein Ansatz mit einer Wertetabelle liefert, dass ab k=6
die Steigung kleiner als 0,1 wird.
k --- 2*pi*k --- [mm] e^{-0,1*2*pi*k}
[/mm]
-0,3*sin(2*pi*k) ---
+3*cos(2*pi*k) f'(2*pi*k)
0 --- 00,0000 --- 1,0000 --- 0 ----- 3 ---------- 3
1 --- 06,2832 --- 0,5335 --- 0 ----- 3 ---------- 1,6005
2 --- 12,5664 --- 0,2846 --- 0 ----- 3 ---------- 0,8538
3 --- 18,8496 --- 0,1518 --- 0 ----- 3 ---------- 0,4555
4 --- 25,1327 --- 0,0810 --- 0 ----- 3 ---------- 0,2430
5 --- 31,4159 --- 0,0432 --- 0 ----- 3 ---------- 0,1296
6 --- 37,6991 --- 0,0231 --- 0 ----- 3 ---------- 0,0692
f(t)= [mm] 3*e^{-0,1t}* [/mm] sin(t)
f'(t) = [mm] -0,3e^{-0,1t}*sin(t) [/mm] + [mm] 3e^{-0,1t}*cos(t)
[/mm]
bzw.
f'(t) = [mm] e^{-0,1t}* [/mm] (-0,3*sin(t) +3*cos(t))
An den Stellen [mm] 2k\pi [/mm] ist hier jeweils der sin =0 und der cos =1 =>
d.h. der faktor (-0,3*sin(t) +3*cos(t)) = 3
Wenn ich aber als Grenzfall 0,1 = f'(t) betrachte, dann nach t auflösen will...
0,1 = [mm] e^{-0,1t}* [/mm] (-0,3*sin(t) +3*cos(t))
ln 0,1 = -0,1t * (-0,3*sin(t) +3*cos(t))
-2,3 = -0,1t * (-0,3*sin(t) +3*cos(t))
führt aber zu t =7,68 bzw. zu k = 1,22 ???
mache ich da was falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:29 Mi 03.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Wolfgang!
Du hast doch bereits völlig richtig erkannt, dass für den Fall $t \ = \ [mm] k*2\pi$ [/mm] die Ableitung lautet:
[mm] $$f'(k*2\pi) [/mm] \ = \ [mm] e^{-0.1*k*2\pi}*\underbrace{\left[-0.3*\sin(k*2\pi)+3*\cos(k*2\pi)\right]}_{= \ 3} [/mm] \ = \ [mm] 3*e^{-0.2*\pi*k}$$
[/mm]
Für den Fall [mm] $f'(t=k*2\pi) [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 0.1$ musst Du also folgende Ungleichung lösen und nach $k \ [mm] \ge [/mm] \ ...$ umstellen:
[mm] $$3*e^{-\bruch{\pi}{5}*k} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 0.1$$
Und diese Ungleichung lässt sich doch geschlossen (sowie ohne Wertetabelle) lösen.
Durch diese Umformungen erhalte ich dann auch (passend zu Deiner Tabelle): $k \ [mm] \ge [/mm] \ 5.41$ [mm] $\Rightarrow$ $\red{k \ \ge \ 6}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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