partielle integration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] \integral_ [/mm] sin(ln(x)) dx |
hallo, also ich hab probleme mit dieser aufgabe, sie soll mit partieller integration gelöst werden und mein ansatz war
zuerst substitution z=ln(x) und dz= 1/x dx
[mm] x\integral_ [/mm] sin(ln(x)) dx= sin(z) dz
und jetzt die partielle integration
u´= 1
v = sin(z)
= x * [mm] sin(z)-\integral_ [/mm] x*cos(z)dz
und weiter komm ich nicht so richtig, muss ich dann eine zweite partielle integration durchführen? ich gehe davon aus dass ich es so integrieren muss dass ich das integral durch addition zusammenfassen kann aber ich weiß nicht wie.
Ich hoffe jemand kann mir das erklären, danke schonmal.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 So 23.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo summerlove!
Du darfst hier nicht einfach den Faktor $x_$ vor das Integral ziehen.
Deine Substitution mit $z \ := \ [mm] \ln(x)$ [/mm] ist gut. Daraus folgt auch: $x \ = \ [mm] e^z$ [/mm] .
Es ergibt sich also folgendes Integral:
[mm] $$\integral{\sin\left[ \ \ln(x) \ \right] \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\sin(z) \ x*dz} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\sin(z)*e^z \ dz}$$
[/mm]
Und nun weiter mit der partiellen Integration ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
hallo, danke für die antwort, also ich hab noch nicht ganz verstanden warum jetzt x = [mm] e^z [/mm] ist.
aber ich hab auf jeden fall die richtige lösung rausbekommen.
aber was ich auch noch nicht so recht verstehe ist woher weiß ich denn was mein u´und mein v ist? welches von den beiden ich nehmen muss?
also als ich das zweite mal die partielle integration benutzt habe, habe ich zuerst gesagt mein u´= cos(z) und mein v= [mm] e^z. [/mm] da hatte ich aber das falsche ergebnis, erst als ich es andersrum, also u´= [mm] e^z [/mm] und v= cos(z) gemacht habe war es richtig. aber woran erkenne ich das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 So 23.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo summerlove!
> hallo, danke für die antwort, also ich hab noch nicht ganz
> verstanden warum jetzt x = [mm]e^z[/mm] ist.
Das ergibt sich aus Umformung der Gleichung: $z \ = \ [mm] \ln(x)$ [/mm] .
> aber was ich auch noch nicht so recht verstehe ist woher
> weiß ich denn was mein u´und mein v ist? welches von den
> beiden ich nehmen muss?
Du musst hier zweimal partiell integrieren. Dabei musst Du jedesmal für $u' \ = \ [mm] e^z$ [/mm] ansetzen oder beide Male $v \ = \ [mm] e^z$ [/mm] .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
ok danke, aber woran erkenn ich dass ich beides mal u´= [mm] e^z [/mm] benutzen muss? ist das immer so? und warum nicht sin(z) =u´?
|
|
|
| |
|
Hallo,
der punkt dieser partiellen Integration ist, dass Ursprungs-Integral mit negativem Vorzeichen wieder zu bekommen. Wenn du den sinus zweimal ableitest, kriegst du wieder nen sinus, daher ist es hier sinnvoll v=sin(x) zu setzen und u'=e{x} .
Das hat einfach etwas mit erfahrung zu tun. du wirst sehen es funzt.
LG
|
|
|
| |
|
danke für die antwort, also darf ich gar kein positives vorzeichen rausbekommen?
wollte dann noch fragen, wann ich immer die mehrfache ableitung benutzen muss, geht das dann immer über diese addition mit dem anfangsintegral?
|
|
|
| |
|
Hallo,
also fangen wir mal gemeinsam an. Du hast nach der Subsitution das Integral:
[mm] \integral{sin(z)*e^{z} dz}
[/mm]
Nun sei [mm] u'(z)=e^{z} \Rightarrow u(z)=e^{z}
[/mm]
v=sin(z) [mm] \Rightarrow [/mm] v'(z)=cos(z)
Dann erhältst du
[mm] \integral{sin(z)*e^{z} dz}=[e^{z}*sin(z)]-\integral{cos(z)*e^{z} dz}
[/mm]
Nun das gleiche Spielchen nochmal... mit [mm] u'(z)=e^z [/mm] und v=cos(z)
du wirst sehen, dass sich das ergebnis ganz selbstverständlich ergibt. probiers aus!
Wie ich vorhin schon schrieb, wirst du mit der zeit merken, wann du die partielle Integration wie anzuwenden hast. Für Integration gibt es nicht wirklich ein Patentrezept....
Lg
|
|
|
| |
|
ok danke, also muss ich immer eine zweite partielle integration durchführen wenn ich zwei faktoren hinter dem integral habe, ist das richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 So 23.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo summerlove!
Nein, das kann man so pauschal nicht festlegen.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
