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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - partikulärer Ansatz
partikulärer Ansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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partikulärer Ansatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:10 Do 06.06.2013
Autor: xsuernx

Aufgabe
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
a) $-y'''-2y''+y'2y=3x$

b) [mm] $y^{IV}=4x^2-2$ [/mm]

also z.b. bei der a)
ich habe die homogene Gleichung
[mm] $y_{hom}(x)=C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}+C_3e^x [/mm] $
berechnet
jetzt brauche ich ja einen Ansatz  für die Partikuläre Lösung
in dem Beispiel was ich habe steht für
[mm] $x^2$ [/mm] sei der Ansatz $ [mm] B_2x^2+B_1x+B_0$ [/mm]
ist dann für $3x$ der Ansatz [mm] $B_1x+B_0$? [/mm] oder muss ich die 3 iergendwie beachten?

Weiterhin steht da, dass 0 keine Nullstelle von p sein darf da man sonst $ [mm] x^\mu [/mm] $ in Klammern davor schreiben muss

Was ist bei diesem Ansatz p, also was darf nicht null werden?

Vielen Dank schonmal
Sören

        
Bezug
partikulärer Ansatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:58 Do 06.06.2013
Autor: schachuzipus

Hallo Sören,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung
> a) [mm]-y'''-2y''+y'2y=3x[/mm]

Der Lösung nach zu urteilen, sollte da $-y'''-2y''+y' \ [mm] \red [/mm] + \ 2y \ = \ 3x$ stehen ...

>

> b) [mm]y^{IV}=4x^2-2[/mm]
> also z.b. bei der a)
> ich habe die homogene Gleichung
> [mm]y_{hom}(x)=C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}+C_3e^x[/mm]
> berechnet [ok]
> jetzt brauche ich ja einen Ansatz für die Partikuläre
> Lösung
> in dem Beispiel was ich habe steht für
> [mm]x^2[/mm] sei der Ansatz [mm]B_2x^2+B_1x+B_0[/mm]
> ist dann für [mm]3x[/mm] der Ansatz [mm]B_1x+B_0[/mm]? [ok]oder muss ich die 3
> iergendwie beachten?

Erst nachher im Koeffizientenvergleich, wenn du [mm] $B_0,B_1$ [/mm] ausrechnest.

Das steht zB. hier

http://www.imn.htwk-leipzig.de/~martin/Wirtschaftsmathematik_WIB/Ansatz%20inhomogene%20Dgl.pdf

ganz gut aufgelistet ...

>

> Weiterhin steht da, dass 0 keine Nullstelle von p sein darf
> da man sonst [mm]x^\mu[/mm] in Klammern davor schreiben muss

>

> Was ist bei diesem Ansatz p, also was darf nicht null
> werden?

Das p ist das Polynom auf der rechten Seite, also die Störfunktion, hier $p=p(x)=3x$

>

> Vielen Dank schonmal
> Sören

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
partikulärer Ansatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:39 Do 06.06.2013
Autor: xsuernx


> Hallo Sören,
>  > Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der

>  > Differentialgleichung

>  > a) [mm]-y'''-2y''+y'2y=3x[/mm]

>  
> Der Lösung nach zu urteilen, sollte da [mm]-y'''-2y''+y' \ \red + \ 2y \ = \ 3x[/mm]
> stehen ...
>  

Ja danke für den Hinweis

> >
>  > b) [mm]y^{IV}=4x^2-2[/mm]

>  > also z.b. bei der a)

>  > ich habe die homogene Gleichung

>  > [mm]y_{hom}(x)=C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}+C_3e^x[/mm]

>  > berechnet [ok]

>  > jetzt brauche ich ja einen Ansatz für die Partikuläre

>  > Lösung

>  > in dem Beispiel was ich habe steht für

>  > [mm]x^2[/mm] sei der Ansatz [mm]B_2x^2+B_1x+B_0[/mm]

>  > ist dann für [mm]3x[/mm] der Ansatz [mm]B_1x+B_0[/mm]? [ok]oder muss ich

> die 3
>  > iergendwie beachten?

>  
> Erst nachher im Koeffizientenvergleich, wenn du [mm]B_0,B_1[/mm]
> ausrechnest.
>  
> Das steht zB. hier
>  
> http://www.imn.htwk-leipzig.de/~martin/Wirtschaftsmathematik_WIB/Ansatz%20inhomogene%20Dgl.pdf
>  
> ganz gut aufgelistet ...
>  
> >
>  > Weiterhin steht da, dass 0 keine Nullstelle von p sein

> darf
>  > da man sonst [mm]x^\mu[/mm] in Klammern davor schreiben muss

>  >
>  > Was ist bei diesem Ansatz p, also was darf nicht null

>  > werden?

>  
> Das p ist das Polynom auf der rechten Seite, also die
> Störfunktion, hier [mm]p=p(x)=3x[/mm]
>  
> >
>  > Vielen Dank schonmal

>  > Sören

>  
> Gruß
>  
> schachuzipus


DANKE!

okay das habe ich jetzt soweit verstanden
$p(x)=3x$
$3x=0$
$x=0$
d.h. ich habe einen Resonanzfall und muss [mm] $x^\mu [/mm] $ mitnehmen?
wäre das in diesem Fall dann :
[mm] $x(B_1x+B_0)$ [/mm] ?
habe ja nur [mm] $3x^1$ [/mm]
also müsste [mm] $\mu=1$ [/mm] sein?

Bezug
                        
Bezug
partikulärer Ansatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:32 Fr 07.06.2013
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

bitte zitiere mit etwas Bedacht, Unnötiges lösche weg, sonst ist es total unübersichtlich!

> DANKE!

>

> okay das habe ich jetzt soweit verstanden
> [mm]p(x)=3x[/mm]
> [mm]3x=0[/mm]
> [mm]x=0[/mm]
> d.h. ich habe einen Resonanzfall und muss [mm]x^\mu[/mm]
> mitnehmen?
> wäre das in diesem Fall dann :
> [mm]x(B_1x+B_0)[/mm] ?

Das war Verwirrung!

In dem link bezeichnet [mm]P(x)[/mm] das charakt. Polynom.


> habe ja nur [mm]3x^1[/mm]
> also müsste [mm]\mu=1[/mm] sein?

Nein, der Ansatz für die gegebene Störfunktion ist hier:

[mm]y_{part}(x)=B_0+B_1\cdot{}x[/mm]

Leite 3mal ab, setze in die Dgl ein und berechne [mm]B_0,B_1[/mm] ...

Probiere auch einfach mal aus, was bei dem falschen Ansatz [mm]y_{part}(x)=x\cdot{}(B_0+B_1\cdot{}x)[/mm] passiert ...


Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
partikulärer Ansatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:47 Fr 07.06.2013
Autor: xsuernx


> Hallo nochmal,
>  
> bitte zitiere mit etwas Bedacht, Unnötiges lösche weg,
> sonst ist es total unübersichtlich!
>  

Okay

>  
> Nein, der Ansatz für die gegebene Störfunktion ist hier:
>  
> [mm]y_{part}(x)=B_0+B_1\cdot{}x[/mm]
>  
> Leite 3mal ab, setze in die Dgl ein und berechne [mm]B_0,B_1[/mm]
> ...
>  
> Probiere auch einfach mal aus, was bei dem falschen Ansatz
> [mm]y_{part}(x)=x\cdot{}(B_0+B_1\cdot{}x)[/mm] passiert ...

Okay habe ich beides gemacht bei dem falschen Ansatz kommt man (oder ich) nicht weit... wird alles sehr komplex und ich bekomme keinen Koeffizientenvergleich hin.

mit dem richtigen Ansatz komme ich auf
[mm] $y_{part}=B_0+B_1x$ [/mm]
[mm] $y'_{part}=B_1$ [/mm]
$y''{part}=y'''{part}=0$

somit ergibt sich $ [mm] 0-0+B_1+2(B_0+B_1x)=!3x$ [/mm]
[mm] $B_1=\bruch{3}{2}$ [/mm]
[mm] $B_0=-\bruch{3}{4}$ [/mm]


[mm] $y_{part}=-\bruch{3}{4}+\bruch{3}{2}x$ [/mm]

und somit [mm] $y(x)=C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}+C_3e^x+-\bruch{3}{4}+\bruch{3}{2}x$ [/mm]






Okay ich habe dass mit dem $p(x)$ immer noch nicht so ganz.. sorry
was genau muss ich =0 setzten um zu sehen ob ich einen Resonanzfall habe?

nehmen wir die zweite Aufgabe (vllt versteh ich es an der)

$ [mm] y^{IV}=4x^2-2 [/mm] $
da habe ich als
[mm] $y_{hom}=C_1+C_2x+C_3x^2+C_4x^3$ [/mm]

nehme ich da jetzt [mm] $B_2x^2+B_1x+B_0=!4x^2-2$ [/mm]
oder [mm] x^\mu(B_2x^2+B_1x+B_0)=!4x^2-2$ [/mm] ?

Bezug
                                        
Bezug
partikulärer Ansatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:30 Fr 07.06.2013
Autor: MathePower

Hallo xsuernx,

> > Hallo nochmal,
>  >  
> > bitte zitiere mit etwas Bedacht, Unnötiges lösche weg,
> > sonst ist es total unübersichtlich!
>  >  
> Okay
>  
> >  

> > Nein, der Ansatz für die gegebene Störfunktion ist hier:
>  >  
> > [mm]y_{part}(x)=B_0+B_1\cdot{}x[/mm]
>  >  
> > Leite 3mal ab, setze in die Dgl ein und berechne [mm]B_0,B_1[/mm]
> > ...
>  >  
> > Probiere auch einfach mal aus, was bei dem falschen Ansatz
> > [mm]y_{part}(x)=x\cdot{}(B_0+B_1\cdot{}x)[/mm] passiert ...
>  
> Okay habe ich beides gemacht bei dem falschen Ansatz kommt
> man (oder ich) nicht weit... wird alles sehr komplex und
> ich bekomme keinen Koeffizientenvergleich hin.
>  
> mit dem richtigen Ansatz komme ich auf
> [mm]y_{part}=B_0+B_1x[/mm]
>  [mm]y'_{part}=B_1[/mm]
>  [mm]y''{part}=y'''{part}=0[/mm]
>  
> somit ergibt sich [mm]0-0+B_1+2(B_0+B_1x)=!3x[/mm]
>  [mm]B_1=\bruch{3}{2}[/mm]
>  [mm]B_0=-\bruch{3}{4}[/mm]
>  
>
> [mm]y_{part}=-\bruch{3}{4}+\bruch{3}{2}x[/mm]
>  
> und somit
> [mm]y(x)=C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}+C_3e^x+-\bruch{3}{4}+\bruch{3}{2}x[/mm]
>  


[ok]


>
> Okay ich habe dass mit dem [mm]p(x)[/mm] immer noch nicht so ganz..
> sorry
> was genau muss ich =0 setzten um zu sehen ob ich einen
> Resonanzfall habe?
>  
> nehmen wir die zweite Aufgabe (vllt versteh ich es an der)
>  
> [mm]y^{IV}=4x^2-2[/mm]
>  da habe ich als
> [mm]y_{hom}=C_1+C_2x+C_3x^2+C_4x^3[/mm]
>  
> nehme ich da jetzt [mm]B_2x^2+B_1x+B_0=!4x^2-2[/mm]


Nein.


>  oder [mm]x^\mu(B_2x^2+B_1x+B_0)=!4x^2-2$[/mm] ?


Den auf der linken Seite stehenden Ansatz setzt Du in die DGL ein.
Dabei ist [mm]\mu[/mm] entsprechend der Vielfachheit
der Nullstelle 0 im charakteristischen Polynom zu wählen.

Hier also [mm]}\mu=4[/mm]

Damit lautet der Ansatz [mm]x^{4}(B_2x^2+B_1x+B_0)[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
partikulärer Ansatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:13 Fr 07.06.2013
Autor: xsuernx


> Den auf der linken Seite stehenden Ansatz setzt Du in die
> DGL ein.
>  Dabei ist [mm]\mu[/mm] entsprechend der Vielfachheit
>  der Nullstelle 0 im charakteristischen Polynom zu
> wählen.
>  
> Hier also [mm]}\mu=4[/mm]
>  
> Damit lautet der Ansatz [mm]x^{4}(B_2x^2+B_1x+B_0)[/mm]
>  
>
> Gruss
>  MathePower

Super habs glaube ich :) Danke!

Kurz zur Lösung:

[mm] $y_{part}(x)=B_0x^4+B_1x^5+B_1x^6$ [/mm]


[mm] $y^{IV}=360B_2x^2+120B_1x+24B_0=!4x^2-2$ [/mm]

[mm] $B_2=\bruch{1}{90} [/mm]  ;  [mm] B_1=0 [/mm]   ;   [mm] B_0=-\bruch{1}{12} [/mm] $

damit ergibt sich

[mm] $y_{part}(x)=\bruch{1}{90}x^6-\bruch{1}{12}x^4 [/mm] $

Allgemeine Lösung:

[mm] $y(x)=C_1+C_2x+C_3x^2+C_4x^3+\bruch{1}{90}x^6-\bruch{1}{12}x^4 [/mm] $

Bezug
                                                        
Bezug
partikulärer Ansatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:32 Fr 07.06.2013
Autor: MathePower

Hallo xsuernx,

> > Den auf der linken Seite stehenden Ansatz setzt Du in die
> > DGL ein.
>  >  Dabei ist [mm]\mu[/mm] entsprechend der Vielfachheit
>  >  der Nullstelle 0 im charakteristischen Polynom zu
> > wählen.
>  >  
> > Hier also [mm]}\mu=4[/mm]
>  >  
> > Damit lautet der Ansatz [mm]x^{4}(B_2x^2+B_1x+B_0)[/mm]
>  >  
> >
> > Gruss
>  >  MathePower
>
> Super habs glaube ich :) Danke!
>  
> Kurz zur Lösung:
>  
> [mm]y_{part}(x)=B_0x^4+B_1x^5+B_1x^6[/mm]
>  
>
> [mm]y^{IV}=360B_2x^2+120B_1x+24B_0=!4x^2-2[/mm]
>  
> [mm]B_2=\bruch{1}{90} ; B_1=0 ; B_0=-\bruch{1}{12}[/mm]
>  
> damit ergibt sich
>  
> [mm]y_{part}(x)=\bruch{1}{90}x^6-\bruch{1}{12}x^4[/mm]
>  
> Allgemeine Lösung:
>  
> [mm]y(x)=C_1+C_2x+C_3x^2+C_4x^3+\bruch{1}{90}x^6-\bruch{1}{12}x^4[/mm]


[ok]


Gruss
MathePower

Bezug
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