passende Methode < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:52 Fr 29.05.2009 | | Autor: | itse |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Lösen Sie das Integral, nach einer Ihnen passend erscheinend Methode:
\int_{}^{} \wurzel{x²-2x}\, dx |
Hallo,
ich habe das Integral umformt, damit ich dann substituieren kann, also:
$\int_{}^{} \wurzel{x²-2x}\, dx = \int_{}^{} \wurzel{(x-1)²-1}\, dx$
Substitution1:
$u = x-1$
$\bruch{du}{dx} = 1 -> dx = du$
$= \int_{}^{} \wurzel{u²-1}\, du$
Substitution2:
$u = cosh(z) -> z = arcosh(u)$
$du = sinh(z) dz$
$\wurzel{u²-1} = sinh(z)$
$= \int_{}^{} sinh(z) \cdot{} sinh(z) \, dz = \int_{}^{} sinh²(z) \, dz = \int_{}^{} \bruch{1}{2} \left( cosh(2z)-1 \right) \, dz = \bruch{1}{2} \int_{}^{} cosh(2z) \, dz - \int_{}^{} \bruch{1}{2} \, dz$
Substitution3:
$w = 2z$
$\bruch{dw}{dz} = 2 -> dz = \bruch{dw}{2}$
$= \bruch{1}{2} \int_{}^{} \bruch{cosh(w)}{2} \, dw - \int_{}^{} \bruch{1}{2} \, dz = \bruch{1}{4} \int_{}^{} cosh(w) \, dw - \int_{}^{} \bruch{1}{2} \, dz = \bruch{1}{4} \cdot{} sinh(w) - \bruch{1}{2} z +C$
Dann die Rücksubstituion:
$\bruch{1}{4} \cdot{} sinh(w) - \bruch{1}{2} z +C$
$\bruch{1}{4} \cdot{} sinh(2z) - \bruch{1}{2} arcosh(u) +C$
$\bruch{1}{4} \cdot{} sinh(2 \cdot{} arcosh(u)) - \bruch{1}{2} arcosh(x-1) +C$
$\bruch{1}{4} \cdot{} sinh(2 \cdot{} arcosh(x-1)) - \bruch{1}{2} arcosh(x-1) +C$
Würde diese Stammfunktion stimmen?
Nun wollte ich das Ganze noch umschreiben und zwar wie folgt:
$= \bruch{1}{4} \cdot{} sinh(2 \cdot{} ln(x-1+\wurzel{x²-2x})) - \bruch{1}{2} ln(x-1+\wurzel{x²-2x})+C$
$= \bruch{1}{4} \cdot{} \bruch{e^{2 \cdot{} ln(x-1+\wurzel{x²-2x})} - e ^{-2 \cdot{} ln(x-1+\wurzel{x²-2x})}}{2} - \bruch{1}{2} ln(x-1+\wurzel{x²-2x})+C$
$= \bruch{1}{4} \cdot{} \bruch{ln(x-1+\wurzel{x²-2x})² - ln(x-1+\wurzel{x²-2x})^{-2}}{2} - \bruch{1}{2} ln(x-1+\wurzel{x²-2x})+C$
$= \bruch{1}{4} \cdot{} \bruch{ln(x-1+\wurzel{x²-2x})² - \bruch{1}{ln(x-1+\wurzel{x²-2x})²}}{2} - \bruch{1}{2} ln(x-1+\wurzel{x²-2x})+C$
$= \bruch{1}{4} \cdot{} \bruch{\bruch{ln(x-1+\wurzel{x²-2x})^4-1}{ln(x-1+\wurzel{x²-2x})²}}{2} - \bruch{1}{2} ln(x-1+\wurzel{x²-2x})+C$
$= \bruch{1}{4} \cdot{} \bruch{ln(x-1+\wurzel{x²-2x})^4-1}{2 \cdot{} ln(x-1+\wurzel{x²-2x})²}} - \bruch{1}{2} ln(x-1+\wurzel{x²-2x})+C$
Ab hier komme ich dann nicht mehr weiter, gibt es eine andere Umformung, als die Klammern auszumultipliziern?
Gruß
itse
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Hallo itse,
du machst es dir unnötig schwer.
Bis zum Integral [mm] $\int{\sinh^2(z) \ dz}$ [/mm] ist alles wunderbar.
Dann wird's etwas unübersichtlich; ich würde kein Additionstheorem verwenden 
Ich habe das nicht mehr bis ins kleinste Detail nachkontrolliert, aber es bietet sich da eher an, partiell zu integrieren:
[mm] $\int{\sinh^2(z) \ dz}=\int{\sinh(z)\cdot{}\sinh(z) \ dz}=\sinh(z)\cdot{}\cosh(z)-\int{\cosh^2(z) \ dz}$
[/mm]
Nun mit [mm] $\cosh^2(\phi)-\sinh^2(\phi)=1$ [/mm] das Ding umschreiben und du bist schon am Ziel ...
Es ergibt sich als Stfkt in z: [mm] $\frac{1}{2}\cdot{}\left(\sinh(z)\cdot{}\cosh(z)-z\right)$
[/mm]
Resubstituiert: [mm] $\frac{1}{2}\cdot{}\left(\sqrt{(x-1)^2-1}\cdot{}(x-1)-arcosh(x-1)\right)$
[/mm]
Ich lasse die Frage aber mal auf teilweise beantwortet, vllt. mag ja jemand deine letzte Rechung noch nachkontrollieren.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Fr 29.05.2009 | | Autor: | itse |
Hallo schachuzipus
> du machst es dir unnötig schwer.
>
> Bis zum Integral [mm]\int{\sinh^2(z) \ dz}[/mm] ist alles
> wunderbar.
>
> Dann wird's etwas unübersichtlich; ich würde kein
> Additionstheorem verwenden
>
> Ich habe das nicht mehr bis ins kleinste Detail
> nachkontrolliert, aber es bietet sich da eher an, partiell
> zu integrieren:
>
> [mm]\int{\sinh^2(z) \ dz}=\int{\sinh(z)\cdot{}\sinh(z) \ dz}=\sinh(z)\cdot{}\cosh(z)-\int{\cosh^2(z) \ dz}[/mm]
>
> Nun mit [mm]\cosh^2(\phi)-\sinh^2(\phi)=1[/mm] das Ding umschreiben
> und du bist schon am Ziel ...
Hierbei sehe ich nicht, wie ich das umschreiben soll, wenn ich das so mache:
[mm] =\sinh(z)\cdot{}\cosh(z)-\int{1+\sinh^2(z) \ dz} [/mm] = [mm] \sinh(z)\cdot{}\cosh(z)-\int{1\ dz}- \int{\sinh^2(z) \ dz}
[/mm]
Dann wäre ich mehr oder weniger wieder am Anfang.
Wie sollte man das Ding umschreiben?
Danke
itse
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus
>
> > du machst es dir unnötig schwer.
> >
> > Bis zum Integral [mm]\int{\sinh^2(z) \ dz}[/mm] ist alles
> > wunderbar.
> >
> > Dann wird's etwas unübersichtlich; ich würde kein
> > Additionstheorem verwenden
> >
> > Ich habe das nicht mehr bis ins kleinste Detail
> > nachkontrolliert, aber es bietet sich da eher an, partiell
> > zu integrieren:
> >
> > [mm]\int{\sinh^2(z) \ dz}=\int{\sinh(z)\cdot{}\sinh(z) \ dz}=\sinh(z)\cdot{}\cosh(z)-\int{\cosh^2(z) \ dz}[/mm]
>
> >
> > Nun mit [mm]\cosh^2(\phi)-\sinh^2(\phi)=1[/mm] das Ding umschreiben
> > und du bist schon am Ziel ...
>
> Hierbei sehe ich nicht, wie ich das umschreiben soll, wenn
> ich das so mache:
>
> [mm]=\sinh(z)\cdot{}\cosh(z)-\int{1+\sinh^2(z) \ dz}[/mm] =
> [mm]\sinh(z)\cdot{}\cosh(z)-\int{1\ dz}- \int{\sinh^2(z) \ dz}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dann wäre ich mehr oder weniger wieder am Anfang.
>
> Wie sollte man das Ding umschreiben?
Das ist der "übliche" Trick, der bei vielen trigonometrischen Integralen funktioniert.
Du hast nun (ohne Zwischenschritte):
[mm] $\int{\sinh^2(z) \ dz}=\sinh(z)\cosh(z)-z-\int{\sinh^2(z) \ dz}$
[/mm]
Nun auf beiden Seiten [mm] $\int{\sinh^2(z) \ dz}$ [/mm] addieren, das gibt
[mm] $2\cdot{}\int{\sinh^2(z) \ dz}=\sinh(z)\cosh(z)-z$
[/mm]
Noch durch 2 teilen und tata ...
>
> Danke
> itse
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Fr 29.05.2009 | | Autor: | itse |
> Hallo itse,
>
> du machst es dir unnötig schwer.
>
> Bis zum Integral [mm]\int{\sinh^2(z) \ dz}[/mm] ist alles
> wunderbar.
>
> Dann wird's etwas unübersichtlich; ich würde kein
> Additionstheorem verwenden
>
> Ich habe das nicht mehr bis ins kleinste Detail
> nachkontrolliert, aber es bietet sich da eher an, partiell
> zu integrieren:
>
> [mm]\int{\sinh^2(z) \ dz}=\int{\sinh(z)\cdot{}\sinh(z) \ dz}=\sinh(z)\cdot{}\cosh(z)-\int{\cosh^2(z) \ dz}[/mm]
>
> Nun mit [mm]\cosh^2(\phi)-\sinh^2(\phi)=1[/mm] das Ding umschreiben
> und du bist schon am Ziel ...
>
> Es ergibt sich als Stfkt in z:
> [mm]\frac{1}{2}\cdot{}\left(\sinh(z)\cdot{}\cosh(z)-z\right)[/mm]
>
> Resubstituiert:
> [mm]\frac{1}{2}\cdot{}\left(\sqrt{(x-1)^2-1}\cdot{}(x-1)-arcosh(x-1)\right)[/mm]
Hierbei komme ich auf etwas anderes:
= [mm] \bruch{1}{2} \left( sinh(ln(x-1+\wurzel{x²-2x})) \cdot{} cos(arcosh(x-1)) - arcosh(x-1) \right)
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} \left( \bruch{e^{ln(x-1+\wurzel{x²-2x})} - e^{ln(x-1+\wurzel{x²-2x})}^{-1}}{2} \cdot{} (x-1) - arcosh(x-1) \right)
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} \left( \bruch{x-1+\wurzel{x²-2x} - \bruch{1}{x-1+\wurzel{x²-2x}}}{2} \cdot{} (x-1) - arcosh(x-1) \right)
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} \left( \bruch{\bruch{(x-1+\wurzel{x²-2x})²}{x-1+\wurzel{x²-2x}}}{2} \cdot{} (x-1) - arcosh(x-1) \right)
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} \left( \bruch{x-1+\wurzel{x²-2x}}{2} \cdot{} (x-1) - arcosh(x-1) \right)
[/mm]
Kann man dies noch weiter vereinfachen?
Gruß
itse
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Hallo nochmal,
> > Es ergibt sich als Stfkt in z:
> > [mm]\frac{1}{2}\cdot{}\left(\sinh(z)\cdot{}\cosh(z)-z\right)[/mm]
> >
> > Resubstituiert:
> >
> [mm]\frac{1}{2}\cdot{}\left(\sqrt{(x-1)^2-1}\cdot{}(x-1)-arcosh(x-1)\right)[/mm]
>
>
> Hierbei komme ich auf etwas anderes:
>
> = [mm]\bruch{1}{2} \left( sinh(ln(x-1+\wurzel{x²-2x})) \cdot{} cos(arcosh(x-1)) - arcosh(x-1) \right)[/mm]
>
>
> = [mm]\bruch{1}{2} \left( \bruch{e^{ln(x-1+\wurzel{x²-2x})} - e^{ln(x-1+\wurzel{x²-2x})}^{-1}}{2} \cdot{} (x-1) - arcosh(x-1) \right)[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{2} \left( \bruch{x-1+\wurzel{x²-2x} - \bruch{1}{x-1+\wurzel{x²-2x}}}{2} \cdot{} (x-1) - arcosh(x-1) \right)[/mm]
Das stimmt zwar, aber ich würde nicht über die Definition mit der e-Funktion gehen, das gibt nur ellenlange Terme.
Ich hatte mir oben zunutze gemacht, dass [mm] $\cosh^2(z)-\sinh^2(z)=1$, [/mm] also [mm] $\sinh(z)=\sqrt{cosh^2(z)-1}$
[/mm]
Damit geht das Rücksubstituieren ohne großen Aufwand, einfach $z=arcosh(x-1)$ einsetzen ...
>
> = [mm] $\bruch{1}{2} \left( \bruch{\bruch{(x-1+\wurzel{x²-2x})²\red{-1}}{x-1+\wurzel{x²-2x}}}{2} \cdot{} (x-1) - arcosh(x-1) \right)$
[/mm]
Da fehlte eine -1 im Zähler von dem rechten Bruch ...
Rechne nochmal nach oder (besser ?) anders resubstituieren - s.o.
>
> = [mm]\bruch{1}{2} \left( \bruch{x-1+\wurzel{x²-2x}}{2} \cdot{} (x-1) - arcosh(x-1) \right)[/mm]
>
>
> Kann man dies noch weiter vereinfachen?
>
> Gruß
> itse
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 So 31.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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