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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 So 15.05.2005 | | Autor: | kruder77 |
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:
x*y'+y=x*sin(x)
die errechnete homogene Lsg ist:
[mm] y_{h}=c_{1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
mein partikulärer Ansatz ist:
[mm] y_{p}=c_{2}*sin(x) [/mm] + [mm] c_{3}*cos(x)
[/mm]
[mm] y'_{p}=c_{2}*cos(x) [/mm] - [mm] c_{3}*sin(x)
[/mm]
und an dieser Stelle komme ich nicht weiter,
wie gehe ich am besten vor?
Vielen Dank für die Hilfe
MfG Kruder77
(Diese Frage wurde in keinen anderen Forum von mir gestellt)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 So 15.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Kruder77,
die partikülare Lösung ist doch eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung. Du müsstest jetzt [mm] $y_p$ [/mm] und [mm] $y_p'$ [/mm] in die Differentialglichung einsetzen und [mm] $c_2$ [/mm] und [mm] $c_3$ [/mm] so bestimmen, dass die Gleichung erfüllt ist. Dafür müsste aber [mm] $c_3=-1$ [/mm] sein, damit bleibt aber auf der linken Seite Suammanden übrig, die nicht für alle $x$ verschwinden, d.h. dein Ansatz zu einer speziellen Lösung ist schlecht. Wegen [mm] $y'=\sin(x)-\frac{y}{x}$ [/mm] enthält $y$ schon den Summanden [mm] $c_3 \cos(x)$, [/mm] allerdings musst du den ersten Summanden so veränder, dass sich die netsprechenden Terme wegheben können. Wegen [mm] $y_h(x)=\frac{c_1}{x}$ [/mm] könnte man natürlich auf die Idee kommen, evtl. wieder einen Bruchterm zu versuchen....
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 So 15.05.2005 | | Autor: | kruder77 |
Hallo nochmal,
letzendlich soll für das [mm] y_{p}=sin(x)-x*cos(x) [/mm] (laut Lösungbuch - stehen leider nur die Lösungen und nicht die Wege drinne) rauskommen,
bei [mm] c_{3}=-1 [/mm] fällt aus der Gleichung dann nur das x*sin(x) heraus und der Rest bleibt stehen.
Die einzigsten Ansätze die ich in die Richtung kenne sind:
1) A*sin(x)+B*cos(x)
2) A*sin(x+p)
Kann man vielleicht durch Substitution etwas erreichen? Oder einen anderen Ansatz? Wie würde denn der erwähnte Ansatz mit einem Bruch aussehen?
Danke für die Hilfe
Kruder77
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 So 15.05.2005 | | Autor: | Max |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Kruder,
die Lösung ist offensichtlich falsch, denn
$y_p(x)=\sin(x)-x\cdot \cos(x)$
$y'_p(x)=x \sin(x)$
Aber $x \cdot y'_p(x) +y(x) = -x \cos(x) + (1+x^2)\sin(x) \neq x \sin(x)$. So fascl ist der Ansatz aber nicht 
Setzt man $y_p(x)=\frac{c(x)}{x}$, erhält man $y'_p(x)=\frac{c'(x)x-c(x)}{x^2}$. Setzt man diesen Ansatz in die Differentialgleichung erhält man:
$\frac{c'(x)x-c(x)}{x}+\frac{c(x)}{x}=x \sin(x)$
$\gdw c'(x)=x\sin(x)$
Für $c'(x)$ gilt dann demnach $c(x)=\sin(x)-x\cdot \cos(x)$ und damit $y_p(x)=\frac{c(x)}{x}=\frac{-cos(x)+\frac{\sin(x)}{x}$
Jetzt alles klar?
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 So 15.05.2005 | | Autor: | kruder77 |
Ja, der Rechenweg ist jetzt klar- Danke schön 
- jedoch woher weiß ich oder woran kann man erkennen
ob ich nun c(x)/x oder A*sin(x)+B*cos(x) oder eine andere
Möglichkeit als Ansatz nehmen sollte?
Gruß
Kruder77
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 So 15.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Kruder,
ich kenne das Verfahren, dass man zum Finden einer speziellen Lösung einfach die Konstanten der allgemeinen Lösung zu einer Funktion ändert: das Lösungsverfahren heißt "Variation der Konstanten". Wenn [mm] $y(x)=c_1 \cdot [/mm] f(x)$ eine allgemeine Lösung ist, versucht man mit [mm] $y_p(x)=c(x) \cdot [/mm] f(x)$ eine spezielle Lösung zu finden.
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 So 15.05.2005 | | Autor: | kruder77 |
Ja, stimmt, aber wenn ich kann doch auch Störfunktion ausgehen?
( Prof. sagt immer das [mm] y_{p} [/mm] vom gleichen Typ wie g(x) sein soll)
zB.: [mm] y'+2y=4e^{5x} [/mm] --> [mm] y_{p}=A*e^{5x}= 4/7*e^{5x}
[/mm]
Aber wahrscheinlich gibt es keine Regeln und man muss einfach
beide Verfahren ausprobieren und schauen ob eins klappt,oder!?
Gruß Kruder
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 So 15.05.2005 | | Autor: | Max |
Ich kenne kein Verfahren das immer funktioniert. Der Ansatz, dass man annimmt, dass die Störfunktion und die spezielle Lösung ähnlich sind klappt ja nur, wenn die Störfunktion die Eigenschaft hat, sich selbst zu reproduzieren beim Ableiten, wie zB [mm] $e^x$, $\sin(x)$ [/mm] usw. Das trifft aber nicht auf $x [mm] \cdot \sin(x)$ [/mm] zu
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:30 So 15.05.2005 | | Autor: | kruder77 |
ich denke die letzte Antwort hat mich weiter gebracht! Großes Dankeschön!
Kruder77
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 So 15.05.2005 | | Autor: | Max |
Dann habe ich ja nochmal Glück gehabt.
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
Max
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