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| Aufgabe | Eine Teilmenge eines normierten VR heisst perfekt, wenn jeder Punkt in M ein Häufungspunkt ist. Bsp: M offen [mm] \Rightarrow [/mm] M perfekt.
Eine Teilmenge M von X heisst abgeschlossen, wenn M all seine HP enthält. |
Hallo liebe Helfer
Ist nun das Beispiel zur ersten Aussage falsch, oder versteh ich da was nicht ganz?
Wenn ich die Definition von perfekt anschaue, unterscheidet sie sich nur minimal von der Definition von abgeschlossen.
Ausserdem habe ich auf Wikipedia für perfekt noch die Definition "abgeschlossen und in sich dicht" für perfekt gefunden, was mein Gehirnchaos noch vergrössert.
Merci für eure Hilfe!
Cassi
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Hallo!
> Eine Teilmenge eines normierten VR heisst perfekt, wenn
> jeder Punkt in M ein Häufungspunkt ist. Bsp: M offen
> [mm]\Rightarrow[/mm] M perfekt.
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> Eine Teilmenge M von X heisst abgeschlossen, wenn M all
> seine HP enthält.
> Hallo liebe Helfer
>
> Ist nun das Beispiel zur ersten Aussage falsch, oder
> versteh ich da was nicht ganz?
> Wenn ich die Definition von perfekt anschaue, unterscheidet
> sie sich nur minimal von der Definition von abgeschlossen.
Wieso?
Wenn M offen ist, heißt das, dass zu jedem Punkt x aus M eine Umgebung [mm] $U(x)\subset [/mm] M$ existiert (also eine Umgebung des Punktes x, die vollständig in M liegt). Damit hast du in U(x) haufenweise Punkte, die "nahe an x" liegen --> x ist Häufungspunkt.
M Perfekt: Jeder Punkt in M ist HP.
M Abgeschlossen: Jeder HP von M ist in M.
Abgeschlossen sagt nichts darüber aus, welche Punkte von M Häufungspunkte sind!
Dahingegen sagt perfekt nichts darüber aus, ob es noch mehr Häufungspunkte von M gibt (die also auch außerhalb von M liegen).
Wesentliche Unterschiede zwischen "perfekt" und "abgeschlossen" findest du nicht bei einfachen Beispielen wie abgeschlossenen Intervallen, weil diese eben gerade in sich dicht sind.
Nimm dir zum Beispiel die Menge [mm] $M=\{\frac{1}{n}|n\in\IN\}\cup\{0\}$. [/mm] Die ist abgeschlossen (z.B. Satz von Heine-Borel), aber nicht perfekt.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 Di 10.08.2010 | | Autor: | Cassipaya |
Hallo Steppenhahn
Das erscheint mir logisch. Werd noch etwas darüber nachdenken, dann wird es sicher auch noch klar:-D
Merci und Gruss
Cassi
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