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| Aufgabe | 1. gleichung: [mm] \partial_{t}u=D*\nabla^2*u+1/2*\partial_{t}\phi
[/mm]
2. gleichung: [mm] \tau*\partial_{t}\phi [/mm] = [mm] [\phi [/mm] − [mm] \lambda*u(1 [/mm] − [mm] \phi^2)]*(1 [/mm] − [mm] \phi^2) [/mm] + [mm] \vec{\nabla}^2*[W^2*\vec{\nabla}*\phi]
[/mm]
[mm] +\partial x(|\vec{\nabla}*\phi|^2*W)*\partial W/\partial (\partial_{x}\phi))
[/mm]
[mm] +\partial y(|\vec{\nabla}*\phi|^2*W)*\partial W/\partial (\partial_{y} \phi))
[/mm]
+ <R>
u: dimensionsloses temperaturfeld
D: thermische diffusionskonstante
[mm] \phi: [/mm] phasenfeldvariable (= -1 bei flüssig, = +1 bei fest)
[mm] \tau: [/mm] parameter, beschreibt charakteristische zeit, die die atome benötigen, um sich an der oberfläche abzusetzen
[mm] \lambda: [/mm] dimensionsloser kopplungsparameter zw. phasenfeld und diffusionsfeld
W: dicke grenzschicht zw. fest und flüssig.
<R>: zufallsvariable aus gaußscher verteilung
das modell soll auf einem zweidim. gitter umgesetzt werden mit folgenden parametern:
gittergröße [mm] n_{x} [/mm] x [mm] n_{y}: [/mm] 400x600 zellen
D=1
[mm] \lambda=1/0.6267
[/mm]
[mm] \tau_{0}=1
[/mm]
[mm] W_{0}=1
[/mm]
gitterabstand [mm] \Delta [/mm] x=0.4 x [mm] W_{0}
[/mm]
anfängliche unterkühlung u=-0.55 |
hallo community! ich will kristallwachstum mithilfe der phasenfeldmethode simulieren. das modell besteht aus zwei miteinander gekoppelten differentialgleichungen.
wie gehe ich damit um, dass in diesem system zwei funktionen u(t,x,y) und φ(x,y) und deren differentiale vorkommen? behandle ich etwa beide gleichungen separat?
mein vorgehen wäre ansonsten:
0. verstehen
1. linearisieren (wie soll das hier gehen?)
2. galerkin-methode
3. auf gitter anwenden
4. ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:55 So 06.05.2012 | | Autor: | Denny22 |
> 1. gleichung:
> [mm]\partial_{t}u=D*\nabla^2*u+1/2*\partial_{t}\phi[/mm]
> 2. gleichung: [mm]\tau*\partial_{t}\phi[/mm] = [mm][\phi[/mm] −
> [mm]\lambda*u(1[/mm] − [mm]\phi^2)]*(1[/mm] − [mm]\phi^2)[/mm] +
> [mm]\vec{\nabla}^2*[W^2*\vec{\nabla}*\phi][/mm]
> [mm]+\partial x(|\vec{\nabla}*\phi|^2*W)*\partial W/\partial (\partial_{x}\phi))[/mm]
>
> [mm]+\partial y(|\vec{\nabla}*\phi|^2*W)*\partial W/\partial (\partial_{y} \phi))[/mm]
>
> + <R>
Also diese Notation verstehe ich nicht. Du solltest erst einmal die Gleichung sauber aufschreiben, damit Dir geholfen werden kann. Überall stehen Multiplikationszeichen, selbst zwischen dem Laplace-Operator und dem $u$. Was soll [mm] $\partial W/\partial (\partial_{x}\phi))$ [/mm] bedeuten? Wie ist $W$ definiert? Was soll [mm] $\vec{\nabla}^2*[W^2*\vec{\nabla}*\phi]$ [/mm] bedeuten?
Die [mm] $\phi$ [/mm] Gleichung ist aus mathematischer Sicht so unübersichtlich, dass es mich nicht wundert, dass Dir noch niemand geantwortet hat. Schreibe die Gleichungen nochmal sorgfältig auf, falls Du noch Hilfe benötigst.
> u: dimensionsloses temperaturfeld
> D: thermische diffusionskonstante
> [mm]\phi:[/mm] phasenfeldvariable (= -1 bei flüssig, = +1 bei
> fest)
> [mm]\tau:[/mm] parameter, beschreibt charakteristische zeit, die
> die atome benötigen, um sich an der oberfläche
> abzusetzen
> [mm]\lambda:[/mm] dimensionsloser kopplungsparameter zw. phasenfeld
> und diffusionsfeld
> W: dicke grenzschicht zw. fest und flüssig.
> <R>: zufallsvariable aus gaußscher verteilung
>
> das modell soll auf einem zweidim. gitter umgesetzt werden
> mit folgenden parametern:
> gittergröße [mm]n_{x}[/mm] x [mm]n_{y}:[/mm] 400x600 zellen
> D=1
> [mm]\lambda=1/0.6267[/mm]
> [mm]\tau_{0}=1[/mm]
> [mm]W_{0}=1[/mm]
> gitterabstand [mm]\Delta[/mm] x=0.4 x [mm]W_{0}[/mm]
> anfängliche unterkühlung u=-0.55
> hallo community! ich will kristallwachstum mithilfe der
> phasenfeldmethode simulieren. das modell besteht aus zwei
> miteinander gekoppelten differentialgleichungen.
>
> wie gehe ich damit um, dass in diesem system zwei
> funktionen u(t,x,y) und φ(x,y) und deren differentiale
> vorkommen? behandle ich etwa beide gleichungen separat?
Du hast eben ein gekoppeltes System. Die erste Gleichung ist eine Diffusionsgleichung mit einem Kopplungsterm, der die nichtlineare Reaktion der $u$-Komponente beschreibt. Die zweite Gleichung habe ich nicht verstanden. Außerdem: Hängt das [mm] $\varphi$ [/mm] nun von der Zeit $t$ ab oder nicht. In der [mm] $\varphi$-Gleichung [/mm] taucht die Zeitableitung von [mm] $\varphi$ [/mm] auf.
> mein vorgehen wäre ansonsten:
> 0. verstehen
> 1. linearisieren (wie soll das hier gehen?)
> 2. galerkin-methode
> 3. auf gitter anwenden
> 4. ?
Dein Vorgehen für was? Möchtest Du dieses gekoppelte System in $2D$ mittels Finite Elementen und in der Zeit mit explizitem Euler diskretisieren oder was hast Du vor. Und wenn ja, wozu benötigst Du hierbei eine Linearisierung?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
Denny
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