pktw. und gleichm. konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktionenreihe f(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{exp(-nx)}{x^{2}-1+n}. [/mm] In welchen Punkten x konvergiert sie punktweise?
Auf welchen Intervallen konvergiert sie gleichmäßig?
Was folgt daraus für die Stetigkeit der Grenzfunktion f? |
So die Aufgabe scheint für mich auf den ersten Blick recht erschlagend da ich immer noch Probleme bei der punktweisen und gleichmäßigen Konvergenz habe.
Ich verstehe zwar den Unterschied der Definitionen aber bei den Anwendungen treten immer wieder Probleme auf
Ich beginne bei der punktweisen Konvergenz nun habe ich aber kein vorgegebnes Intervall sondern muss mir die Punkte suchen in denen die Reihe punktweise konvergiert und dass ist jetzt mein Problem ich weiss nicht wie ich hier vorgehe
Ich bitte um Rat
mfg eddie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Do 29.09.2011 | | Autor: | Helbig |
Hallo eddie,
untersuche doch mal, für welche [mm]x[/mm] die Reihe konvergiert. Für [mm] $x\le [/mm] 0$, für $x=0$ oder für $0<x$? Und damit kannst Du schon beantworten, für welche $x$ die Reihe punktweise konvergiert.
Wenn $M$ die Menge der $x$ mit punktweiser Konvergenz ist, mußt Du im nächsten Schritt Teilmengen von $M$ angeben, auf denen die Reihe gleichmäßig konvergiert.
OK?
Wolfgang
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Ok ich bin wie folgt vorgegangen
Aus dem Quotientenkriterium folgt
[mm] \alpha= [/mm] limsup [mm] \bruch{e^{-(n+1)x}}{x^{2}+n} [/mm] * [mm] \bruch{x^{2}-1+n}{e^{-nx}}
[/mm]
= limsup [mm] e^{-x} [/mm] * [mm] \bruch{x^{2}-1+n}{x^{2}+n}
[/mm]
Der Bruch geht gegen 1 sodass der komplette Term gegen [mm] e^{-x} [/mm] geht für n gegen [mm] \infty
[/mm]
jetzt gilt für x>0 [mm] \alpha<1 [/mm] also konvergenz
und für [mm] x\le0 \alpha\ge1 [/mm] also divergenz
soweit richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Do 29.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ok ich bin wie folgt vorgegangen
> Aus dem Quotientenkriterium folgt
>
> [mm]\alpha=[/mm] limsup [mm]\bruch{e^{-(n+1)x}}{x^{2}+n}[/mm] *
> [mm]\bruch{x^{2}-1+n}{e^{-nx}}[/mm]
>
> = limsup [mm]e^{-x}[/mm] * [mm]\bruch{x^{2}-1+n}{x^{2}+n}[/mm]
>
> Der Bruch geht gegen 1 sodass der komplette Term gegen
> [mm]e^{-x}[/mm] geht für n gegen [mm]\infty[/mm]
>
> jetzt gilt für x>0 [mm]\alpha<1[/mm] also konvergenz
O.K.
> und für [mm]x\le0 \alpha\ge1[/mm] also divergenz
Vorsicht:
Für x<0 ist [mm] \alpha [/mm] <1, also hat man Divergenz.
Für x=0 ist [mm] \alpha [/mm] =1. In diesem Fall liefert das QK keine Entscheidung.
Also: was ist los für x=0 ?
FRED
>
> soweit richtig?
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Achso ok wir hatten es so definiert wenn [mm] \alpha [/mm] <1 konvergent sonst divergent
Für x = 0 wäre die Reihe ja
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n-1}
[/mm]
und die Reihe divergiert soweit richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Do 29.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Achso ok wir hatten es so definiert wenn [mm]\alpha[/mm] <1
> konvergent sonst divergent
Das glaube ich nicht ! Schau mal hier
http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium
unter "spezialfälle"
>
> Für x = 0 wäre die Reihe ja
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n-1}[/mm]
>
> und die Reihe divergiert soweit richtig?
Ja, aber beginnt Deine Reihe wirklich mit n=0 ?
FRED
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Ah jetzt hab ich es gesehen ich lasse sie bei n=2 starten und hab dann ja die harmonische Reihe und so die Divergenz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Do 29.09.2011 | | Autor: | Helbig |
Bingo!
Wolfgang
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So jetzt bin ich weiter zur gleichmäßigen Konvergenz gegegangen
Hier muss ich jetzt ja schonmal nur alle positiven x untersuchen, da bei negativen x keine punktweise konvergenz vorliegt
Hierzu muss ich die Reihe abschätzen um das Weierstraß Kriterium anzuwenden nur bekomme ich keinen Anfang und weiss auch nicht recht auf welchem Intervall sie gleicmäßig konveriert
Hoffe ihr könnt mir nochmals helfen
mfg eddie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Fr 30.09.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn eine fkt punktweise konv. dann auch auf einem abgeschlossenen Intervall. Welche stellen musst du dann noch untersuchen? (warum?)
wie hängt die Konvergenz da von x ab?
Gruss leduart
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