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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] \IR, [/mm] das Einheitsintervall I = [0,1], der Einheitskreis T = { [mm] x\in\IC: [/mm] |x| = 1 } und das offene Intervall (0,1) polnische Räume sind. |
Ich bearbeite gerade das erste Beispiel mit [mm] \IR. [/mm] Ein polnischer Raum ist ja ein separabler, vollständig metrisierbarer Raum. Separabel ist [mm] \IR, [/mm] da [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] liegt. Jetzt muss ich ja noch zeigen, dass [mm] \IR [/mm] vollständig metrisierbar ist, also eine Metrik finden, unter der jede Cauchy Folge konvergiert. Das müsste unter der normalen Betragsmetrik auch funktionieren. Nun hänge ich allerdings daran, dass ich nicht drauf komme, wie man zeigt, dass eine Cauchy Folge unter einer bestimmten Metrik konvergiert. Für Hilfe und Vorschläge wär ich sehr dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Do 07.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Ich bin nicht sicher, ob ich Dein Problem verstanden habe, ebenso bin ich nicht sicher, ob Dir folgendes hilft:
1. Der [mm] \IR^n [/mm] (mit der üblichen Topologie ) ist polnisch.
2. Etwas allgemeiner: jeder separable Banachraum ( mit der Norm-Topologie ) ist polnisch.
3. Jeder kompakte Hausdorffraum mit abzählbarer Basis ist polnisch.
4. Ist X ein polnischer Raum und Y eine Teilmenge von X, so gilt:
ist Y offen oder abgeschlossen, so ist Y polnisch
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:56 Do 07.10.2010 | | Autor: | glassdanse |
Dass die genannten Mengen polnisch sind, weiß ich ja schon, ich soll zeigen dass es so ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Do 07.10.2010 | | Autor: | pelzig |
> Ich bearbeite gerade das erste Beispiel mit [mm]\IR.[/mm] Ein
> polnischer Raum ist ja ein separabler, vollständig
> metrisierbarer Raum. Separabel ist [mm]\IR,[/mm] da [mm]\IQ[/mm] dicht in [mm]\IR[/mm]liegt.
Ja, in der Standartopologie auf [mm]\IR[/mm] ist das so. Aber es ist ja von vornherein noch nicht klar, dass diese Topologie [mm]\IR[/mm] zu einem polnischen Raum macht.
> Jetzt muss ich ja noch zeigen, dass [mm]\IR[/mm] vollständig
> metrisierbar ist, also eine Metrik finden, unter der jede
> Cauchy Folge konvergiert.
Fast, es muss zusätzlich noch die von dieser Metrik induzierte Topologie mit der ursprünglichen übereinstimmen, das heißt ja genau "metrisierbar". Wenn ich die diskrete Metrik nehme wird jede Menge zu einem vollständigen metrischen Raum!
> Das müsste unter der normalen
> Betragsmetrik auch funktionieren. Nun hänge ich allerdings
> daran, dass ich nicht drauf komme, wie man zeigt, dass eine
> Cauchy Folge unter einer bestimmten Metrik konvergiert.
> Für Hilfe und Vorschläge wär ich sehr dankbar!
Du fragst warum [mm]\IR[/mm] mit der Betragsmetrik vollständig ist... nunja das ist eben Analysis I und der Beweis hängt davon ab wie ihr die reellen Zahlen eingeführt habt.
Viele Grüße, Robert
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Okay, ich hab mir jetzt folgendes gedacht:
Ich habe gelesen, dass eine Metrik d die Topologie auf [mm] \IR [/mm] induziert, wenn die offenen Mengen von [mm] \IR [/mm] durch offene Kugeln bezüglich d erklärt werden können. Wenn ich als Metrik die Betragsmetrik nehme, kann ich ja die offenen Mengen (a,b) so erklären:
(a,b) = { [mm] x\in\IR: d(x,\bruch{a+b}{2})<\bruch{b-a}{2} [/mm] }
Laut dem Vollständigkeitsaxiom konvergiert jede Cauchy- Folge in [mm] \IR, [/mm] also auch im Bezug auf diese Metrik.
Bin ich auf dem richtigen Weg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Do 07.10.2010 | | Autor: | pelzig |
Also eins mal vorweg: eigentlich ist es komplett banal, dass [mm]\IR[/mm] mit der Standarttopologie ein polnischer Raum ist, es steht eigentlich alles bereits da (bzw in deinem Ana I Skript), du musst die Puzzleteile nur noch zusammensetzen.
> Ich habe gelesen, dass eine Metrik d die Topologie auf [mm]\IR[/mm]
> induziert, wenn die offenen Mengen von [mm]\IR[/mm] durch offene
> Kugeln bezüglich d erklärt werden können.
Das ist so nur fast richtig (also falsch). Es müssen die Kugeln [mm]\IB_r(x):=\{y\in\IR\mid d(x,y)[mm]\mathcal{O}=\bigcup_{i\in I}\mathbb{B}_{r_i}(x_i)[/mm] Das klingt jetzt alles furtbar kompliziert, aber die Standart-Topologie auf [mm]\IR[/mm] wird doch definiert als die von der Betragsmetrik induzierte... also ist doch hier gar nix mehr zu zeigen.
> Laut dem Vollständigkeitsaxiom konvergiert jede Cauchy-
> Folge in [mm]\IR,[/mm] also auch im Bezug auf diese Metrik.
> Bin ich auf dem richtigen Weg?
Ja, das ist schon der richtige Satz, aber die Begründung stimmt nicht ganz. Das Vollständigkeitsaxiom sagt: "Der metrische Raum [mm](\IR,d)[/mm] mit [mm]d(x,y)=|x-y|[/mm] ist vollständig." Da muss man nix mehr weiter sagen!
Ein polnischer Raum ist übrigens nichts weiteres als ein vollständiger, separabler, metrischer Raum nur dass man die Metrik wegwirft und nur noch die von ihr induzierte Topologie betrachtet...
Gruß, Robert
PS: Bitte schreibe in Zukunft keine Mitteilungen, wenn du tatsächlich eine weitere Frage zu einer Antwort stellen möchtest. Denn: existieren in einem Thread keine offenen Fragen mehr, dann taucht dieser auch nicht mehr in der Liste der Threads mit offenen Fragen auf und wird von den meisten Antwortschreibenden hier gar nicht mehr betrachtet.
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Vielen Dank für die Antworten, es macht langsam Klick, aber es passiert. ;) Ich beschäftige mich jetzt mit dem Beispiel der Intervalle [0,1] und (0,1). Das geschlossene Intervall ist ja mit der Betragsmetrik vollständig und jetzt suche ich eine Metrik, die das offene Intervall vervollständigt und bin dabei auf die triviale Metrik
[mm] d(x,y)=\left\{\begin{matrix}
0, wenn x=y \\
1, wenn x\not=y
\end{matrix}\right.
[/mm]
gestoßen.
Der Begriff Cauchy- Folge bezieht sich ja auf die Metrik und in diesem Fall sind die Cauchy- Folgen ja nur die konstanten Folgen und die konvergieren auch im offenen Intervall.
Bleibt noch zu zeigen, dass die Intervalle separabel sind. Kann ich dazu einfach die Intervalle mit [mm] \IQ [/mm] schneiden? Liegt der erhaltene Schnitt dann nicht 'automatisch' dicht in den jeweiligen Intervallen oder mach ich es mir hier zu einfach?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Di 12.10.2010 | | Autor: | pelzig |
> Ich beschäftige mich jetzt mit dem Beispiel der
> Intervalle [0,1] und (0,1). Das geschlossene
> Intervall ist ja mit der Betragsmetrik vollständig
Richtig. Und auch separabel als Unterraum eines separablen metrischen Raumes.
> jetzt suche ich eine Metrik, die das offene Intervall
> vervollständigt und bin dabei auf die triviale Metrik
> [mm]d(x,y)=\left\{\begin{matrix} 0, wenn x=y \\
1, wenn x\not=y \end{matrix}\right.[/mm]
> gestoßen.
Joa... kann man ja mal probieren. Leider stimmt die von der diskreten Metrik induzierte Topologie, nämlich die diskrete Topologie [mm]\mathcal{T}=\mathcal{P}(X)[/mm], nicht mit der gegebenen (Standart-)Topologie auf [mm]X=(0,1)[/mm] überein.
> Der Begriff Cauchy- Folge bezieht sich ja auf die Metrik
korrekt.
> und in diesem Fall sind die Cauchy- Folgen ja nur die konstanten Folgen
Du meinst die "schließlich konstant werdenden" Folgen.
> und die konvergieren auch im offenen Intervall.
> Bleibt noch zu zeigen, dass die Intervalle separabel sind.
Da wirst du keinen Erfolg haben. [mm]\IQ\cap[0,1][/mm] ist zwar dicht in [mm][0,1][/mm] in der Standarttopologie, aber mit der diskreten Topologie sind nur Räume mit höchstens abzählbar vielen Punkten seperabel.
Ein Tipp für [mm]X=(0,1)[/mm]: konstruiere einen Homöomorphismus zwischen [mm](0,1)[/mm] und [mm]\IR[/mm]!
Gruß, Robert
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Okay, ich habe einen Homöomorphismus zwischen (0,1) und [mm] \IR [/mm] gefunden.
x [mm] \mapsto [/mm] tan [mm] ((\bruch{x-1}{2})\pi). [/mm] Nun verstehe ich aber nicht, wie mir das weiterhilft..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 Mo 18.10.2010 | | Autor: | pelzig |
> Okay, ich habe einen Homöomorphismus zwischen (0,1) und [mm]\IR[/mm] gefunden.
> [...] Nun verstehe ich aber nicht, wie mir das weiterhilft...
Beweise folgendes:
Sei [mm](X,d)[/mm] ein metrischer Raum. Wir bezeichnen mit [mm]\mathcal{T}(d)[/mm] die von [mm]d[/mm] auf [mm]X[/mm] induzierte Topologie und sei [mm](Y,\mathcal{T}_Y)[/mm] ein weiterer topologischer Raum. Hast du nun einen Homöomorphismus [mm]\varphi:X\to Y[/mm], dann gilt:
1) durch [mm]\varphi^\*d(y_1,y_2):=d(\varphi^{-1}(y_1),\varphi^{-1}(y_2))[/mm] ist eine Metrik [mm]\varphi^\*d[/mm] auf [mm]Y[/mm] gegeben
2) [mm]\mathcal{T}(\varphi^\*d)=\mathcal{T}_Y[/mm]
3) [mm](X,d)[/mm]vollständig [mm]\gdw[/mm] [mm](Y,\varphi^\*d)[/mm] vollständig
Nun wende alles auf dein Beispiel [mm]\IR\xrightarrow{\varphi}(0,1)[/mm] an.
Gruß, Robert
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