polynom nullstellen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Di 29.12.2009 | | Autor: | snoopy89 |
| Aufgabe | Hier geht es um den Mittelwertsatz:
Beweisen Sie, dass ein Polynom p(x) = [mm] \summe_{k=0}^{n}a_kx^{k} [/mm] vom Grad n [mm] \ge [/mm] 1, d.h. mit [mm] a_n \not= [/mm] 0, höchstens n reelle Nullstellen besitzen kann |
Hallo, ich hab mich an dieser Aufgabe versucht und es über Induktion versucht, und bis zu einem gewissen Punkt mag ich den Beweis auch, aber dann find cih wird es irgendwie schwammig, bzw schwafelig, wäre toll, wenn sich das einer mal ansehen könnte und mir verbesserungstipps geben könnte.
also
Behauptung: Polynom p(x) = [mm] \summe_{k=0}^{n}a_kx^{k} [/mm] vom Grad n [mm] \le [/mm] 1, d.h. mit [mm] a_n \not= [/mm] 0 kann höchstens n reelle Nullstellen besitzen
IA: n=1
p(x) = [mm] a_1 \cdot [/mm] x + [mm] a_0 [/mm]
0 = [mm] a_1 \cdot [/mm] x + [mm] a_0
[/mm]
x= - [mm] \bruch{a_0}{a_1} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] es existiert genau eine Nullstelle, da [mm] a_n \not= [/mm] 0 gilt ist sie definiert
IV: für ein beliebiges, aber festes n [mm] \in [/mm] N gelte die Behauptung
IS: n [mm] \mapsto [/mm] n+1
p(x) = [mm] \summe_{k=0}^{n+1}a_kx^{k}
[/mm]
p'(x) =(n+1) [mm] \cdot \summe_{k=0}^{n}a_kx^{k}
[/mm]
0= (n+1) [mm] \cdot \summe_{k=0}^{n}a_kx^{k}
[/mm]
0= [mm] \summe_{k=0}^{n}a_kx^{k}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] nach IV besitzt p'(x) höchstens n Nullstellen, demnach besitzt p(x) höchstens n Extremstellen
nach dem Mittelwertsatz existiert zwischen 2 aufeinanderfolgenden Extremstellen [mm] x_1,x_2 [/mm] mit [mm] x_1 [/mm] < [mm] x_2 [/mm] ein [mm] \mu \in [x_1 [/mm] , [mm] x_2], [/mm] sodass
[mm] p'(\mu) [/mm] = [mm] \bruch{p(x_2)-p(x_1)}{x_2-x_1}
[/mm]
wenn [mm] p(x_1) \ge [/mm] 0 und [mm] p(x_2) \le [/mm] 0 oder umgekehrt, dann existiert ein [mm] \mu \in [x_1 [/mm] , [mm] x_2] [/mm] mit [mm] p(\mu)=0 [/mm] nachdem Zwischenwertsatz.
Da p(x) nun höchstens n Extremstellen besitzt, können also n-1 Nullstellen zwischen den Extrema existieren.
Da f stetig ist, gibt es für das 1. Extremum [mm] x_1 [/mm] ein a< [mm] x_1 [/mm] mit f(a) [mm] \le p(x_1), [/mm] wenn [mm] x_1 [/mm] ein Maximum ist bzw. es existiert ein a < [mm] x_1 [/mm] mit f(a) [mm] \ge p(x_1), [/mm] wenn [mm] x_1 [/mm] ein Minimum ist.
wenn nun [mm] x_1 [/mm] ein Minimum ist und [mm] f(x_1) \le [/mm] 0, dann existiert ein a > [mm] x_1 [/mm] mit p(a) [mm] \le [/mm] 0 und nachdem Zwischenwertsatz existiert dann ein [mm] y_1 \in [/mm] [a , [mm] x_1] [/mm] mit [mm] p(y_1)=0
[/mm]
wenn nun [mm] x_1 [/mm] ein Maximum ist und [mm] p(x_1) \ge [/mm] 0, dann existiert ein a < [mm] x_1 [/mm] mit f(a) [mm] \le [/mm] 0 und nach dem Zwischenwertsatz existiert auch dann ein [mm] y_2 \in [/mm] [a , [mm] x_1] [/mm] mit [mm] p(y_2)=0.
[/mm]
Das selbe gilt analog für ein b > [mm] x_n, [/mm] wobei [mm] x_n [/mm] die letzte Extremstelle ist.
Es können also am Rand der Extremstellen 2 Nullstellen auftauchen.
n-1 Nullstellen plus 2 Nullstellen am Rand ergeben n+1 mögliche Nullstellen für ein Polynom mit dem Grad n+1
[mm] \Box
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:31 Di 29.12.2009 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
die Formel,die du für p' erhälst, stimmt nicht, aber das ist für den weiteren Beweisgang nicht entscheidend. Wie gehst du mit mehrfachen Nullstellen um? Du setzt voraus, dass die Nullstellen von p' alle einfach sind, damit du entsprechend viele Extremstellen bekommst.
Ich würde so argumentieren: Ist eine Zahl a Nullstelle ven Polynoms p, so kann man p durch das Polynom: (x-a) teilen und erhält ein neues Polynom vom Grad n-1 wobei der höchste Koeffizient des Ergebnispolynoms ein Vielfaches von [mm] a_{n} [/mm] ist. Angenommen p hätte mehr als n Nullstellen (wobei es keine Rolle spielt, ob sie einfach oder mehrfach sind), dann würde ich nach der n-ten Polynomdivision einerseits ein konstantes Polynom als Ergebnis erhalten, andererseits müßte dieses nach der obigen Annahme noch mindestens eine Nullstelle haben, das geht nur falls [mm] a_{n} [/mm] = 0
Was ich überhaupt nicht verstehe ist, wozu man den Mittelwertsatz bei der ganzen Sache braucht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:09 Mi 30.12.2009 | | Autor: | snoopy89 |
ganz ehrlich, das vertseh ich auch nicht
zumal, wenn wir polynome bereits behandelt hätten könnt ich es ja auch mit (x-a)(x-b)... schreriben und würde sehen es gäbe n klammern und deshalb n Nullstellen, haben wir aber nciht und den von dir genannten beweis habe ich in meinem lina buch ansatzweise gefunden, aber das wollen bzw darf ich das in wahrscheinlich auch noch gar nicht. ich mag den mittelwertsatz auch nicht so richtig bis jetzt muss ich sagen, deshalb weiß ich auch nicht so recht weiter...
aber danke
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:27 Mi 30.12.2009 | | Autor: | qsxqsx |
vielleicht ist das hier ganz interessant: http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Algebra
...übrigens ist es ja so das die n-te wurzel einer komplexen zahl max n verschiedene lösungen hat, vielleicht kanna man das auf polynome anwenden, vielleicht auch nicht..
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Hiho,
dass deine Formel für f' falsch ist, wurde ja schon gesagt.
Das ist aber unwichtig, wichtig ist nur, dass f' vom Grad her kleiner ist als f, die Formel ist da egal.
Ob deine Extremstellen Maxima oder Minima sind ist eigentlich auch egal.
Induktion ist schon nicht schlecht, nehmen wir mal an die Aussage sei für Polynome vom Grad n bewiesen und betrachten ein Polynom vom Grad n+1.
Annahme: Dieses Polynom f habe mehr als n+1 Nullstellen, dann folgt mit dem Mittelwertsatz für f', dass....... hier machst du mal weiter.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Fr 01.01.2010 | | Autor: | snoopy89 |
vielen dank für den Tipp, ja meine Ableitung war etwas daneben, aber ich glaub jetzt ist sie richtig...
also ich hab mich noch mal an dem IS versucht:
Annahme: Dieses Polynom $ p(x) = [mm] \summe_{k=0}^{n+1}a_kx^{k} [/mm] $ habe mehr als n+1 Nullstellen, dann folgt mit dem MWS, für $ p'(x) = [mm] \summe_{k=0}^{n}(n+1)a_kx^{k} [/mm] $, dass es zwischen p(a) = 0 und p(b) = 0 mit a < b eine Stelle [mm] p'(\mu)= \bruch{p(b)-p(a)}{b-a} [/mm] gibt mit [mm] p'(\mu)=0 [/mm] , da p(b)-p(a)=0 , d.h. dass zwischen zwei nebeneinander liegenden Nullstellen von p(x) eine Nullstelle von p'(x) liegt. Wenn p(x) also n+2 Nullstellen besäße, würde p'(x) vom Grad n n+1 Nullstellen besitzen, im Widerspruch zur Vorraussetzung. p(x) muss also n+1 Nullstellen besitzen.
[mm] \Box [/mm]
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Hallo snoopy,
es wird langsam besser. 
> vielen dank für den Tipp, ja meine Ableitung war etwas
> daneben, aber ich glaub jetzt ist sie richtig...
Nein, noch nicht.
> also ich hab mich noch mal an dem IS versucht:
>
> Annahme: Dieses Polynom [mm]p(x) = \summe_{k=0}^{n+1}a_kx^{k}[/mm]
> habe mehr als n+1 Nullstellen, dann folgt mit dem MWS, für
> [mm]p'(x) = \summe_{k=0}^{n}(\red{n}+1)a_{\red{k}}x^{k} [/mm],
[mm] p'(x)=\summe_{k=0}^{n}(\blue{k}+1)a_{\blue{k+1}}x^{k}
[/mm]
> dass es zwischen
> p(a) = 0 und p(b) = 0 mit a < b eine Stelle [mm]p'(\mu)= \bruch{p(b)-p(a)}{b-a}[/mm]
> gibt mit [mm]p'(\mu)=0[/mm] , da p(b)-p(a)=0 ,
> d.h. dass zwischen
> zwei nebeneinander liegenden Nullstellen von p(x) eine
> Nullstelle von p'(x) liegt.
Der MWS besagt, dass es mindestens eine solche Stelle gibt...
> Wenn p(x) also n+2 Nullstellen
> besäße, würde p'(x) vom Grad n n+1 Nullstellen
...mindestens n+1 Nullstellen...
> besitzen, im Widerspruch zur Vorraussetzung.
> p(x) muss also
> n+1 Nullstellen besitzen.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das muss heißen: p(x) kann also höchstens n+1 Nullstellen haben. Oder besitzen. Oder "sein Eigen nennen". Oder...
lg
reverend
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