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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:24 Do 18.06.2009 | | Autor: | bobby |
Hallo,
ich komme mit dieser Aufgabe einfach nicht weiter:
Es sei p eine Primzahl, a [mm] \in \IZ, [/mm] n und s [mm] \in \IN, [/mm] pkein Teiler von a und p kein Teiler von n. Zu zeigen ist nun:
[mm] x^{n} \equiv [/mm] a (mod [mm] p^{s}) [/mm] lösbar [mm] \gdw x^{n} \equiv [/mm] a (mod p) lösbar
Ich habe nun erstmal angesetzt und umgestellt:
[mm] x^{n} [/mm] - a [mm] \equiv [/mm] 0 (mod [mm] p^{s}) [/mm] lösbar [mm] \gdw x^{n} [/mm] - a [mm] \equiv [/mm] 0 (mod p) lösbar
es sei nun f(x) = [mm] x^{n} [/mm] - a
jetzt wollte ich mit folgendem weitermachen, weis aber nicht recht wie ich den satz auf meine aufgabe anwenden kann...:
Suche alle Lösungen f(d) [mm] \equiv [/mm] 0 (mod [mm] p^{s}) [/mm] mit d [mm] \equiv [/mm] c (mod [mm] p^{s-1}) [/mm] , dann hat cd die Form [mm] d=c+t*p^{s-1} [/mm] mit t aus {0,...,p-1}, s>1.
f(d) [mm] \equiv [/mm] 0 (mod [mm] p^{s}) \gdw [/mm] f'(c)*t [mm] \equiv [/mm] - [mm] \bruch{f(c)}{p^{s-1}} [/mm] (mod p)
ja, an dieser stelle weis ich nicht recht weiter, vielleicht könnt ihr mir da ja helfen??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mo 22.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 Mi 24.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich komme mit dieser Aufgabe einfach nicht weiter:
>
> Es sei p eine Primzahl, a [mm]\in \IZ,[/mm] n und s [mm]\in \IN,[/mm] pkein
> Teiler von a und p kein Teiler von n. Zu zeigen ist nun:
>
> [mm]x^{n} \equiv[/mm] a (mod [mm]p^{s})[/mm] lösbar [mm]\gdw x^{n} \equiv[/mm] a (mod
> p) lösbar
>
> Ich habe nun erstmal angesetzt und umgestellt:
> [mm]x^{n}[/mm] - a [mm]\equiv[/mm] 0 (mod [mm]p^{s})[/mm] lösbar [mm]\gdw x^{n}[/mm] - a
> [mm]\equiv[/mm] 0 (mod p) lösbar
> es sei nun f(x) = [mm]x^{n}[/mm] - a
Gut soweit.
Die Implikation [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ist klar, es bleibt also [mm] $\Leftarrow$ [/mm] zu zeigen. Das machst du am besten per Induktion nach $n$; fuer $n = 1$ ist es nach Voraussetzung klar.
> jetzt wollte ich mit folgendem weitermachen, weis aber
> nicht recht wie ich den satz auf meine aufgabe anwenden
> kann...:
> Suche alle Lösungen f(d) [mm]\equiv[/mm] 0 (mod [mm]p^{s})[/mm] mit d [mm]\equiv[/mm]
> c (mod [mm]p^{s-1})[/mm] , dann hat cd die Form [mm]d=c+t*p^{s-1}[/mm] mit t
> aus {0,...,p-1}, s>1.
> f(d) [mm]\equiv[/mm] 0 (mod [mm]p^{s}) \gdw[/mm] f'(c)*t [mm]\equiv[/mm] -
> [mm]\bruch{f(c)}{p^{s-1}}[/mm] (mod p)
Damit kannst du den Induktionsschritt machen: du hast eine Loesung modulo [mm] $p^{n-1}$ [/mm] und willst eine Modulo [mm] $p^n$. [/mm] Und der Satz sagt dir nun, dass du eine bekommen kannst wenn z.B. $f'(c)$ invertierbar ist in [mm] $\IZ/p^n\IZ$, [/mm] falls $c$ eine Nullstelle modulo [mm] $p^{n-1}$ [/mm] ist. Rechne doch mal $f'(c)$ aus.
LG Felix
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