pos. Definitheit. < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe diese Frage nirgends sonst gestellt.
$H := [mm] \{ \pmat{ a & b/2 \\ b/2 & c }|a,b,c \in \IZ, a > 0, b^2-4ac < 0 \}$
[/mm]
Gibt es eine elegante Möglichkeit zu folgern, dass [mm] $g*h*g^{t}$ [/mm] pos. definit für $h [mm] \in [/mm] H$ und [mm] $g\in SL_{2}(\IZ)$?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:48 Di 03.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Jedes h [mm] \in [/mm] H ist positiv definit !
FRED
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Dank für die Antwort, ich fürchte aber ich stehe hier kolosssal auf dem Schlauch. das die $h$ pos. def sind ist mir klar, nur warum ist es das Produkt [mm] $g*h*g^{t}$ [/mm] auch pos. def. $g$ muss ja nicht pos. def. sein? Sylvester kann man hier auch nicht anwenden, oder?
Gruß Kevin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:03 Di 03.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Tipp: Eigenwerte von $ [mm] g\cdot{}h\cdot{}g^{t} [/mm] $
FRED
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Hm, die Eigenwerte sollten alle größer Null sein, ich sehe aber noch nicht ein warum das gelten muss.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:20 Mi 04.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Der Tipp mit den Eigenwerten war nich der beste.
Wir betrachten die quadratische Form
$x [mm] \to (g\cdot{}h\cdot{}g^{t}x [/mm] |x) $ (x [mm] \in \IR^2),
[/mm]
wobei $(*|*)$ das übliche Skalarprodukt auf dem [mm] \IR^2 [/mm] ist. Sei x [mm] \in \IR^2, [/mm] x [mm] \not= [/mm] 0.
Es ist
[mm] $(g\cdot{}h\cdot{}g^{t}x [/mm] |x)= ( [mm] h\cdot{}g^{t}x |g^t [/mm] x)$
Da g invertierbar ist, ist [mm] g^t [/mm] x [mm] \not= [/mm] 0. Da h positiv definit ist, folgt
$( [mm] h\cdot{}g^{t}x |g^t [/mm] x)> 0$
FRED
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