pos. def.quadr. Formen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie, welche der folgenden positiv definiten quadratischen Formen zu einander äquivalent sind:
[mm] f_{1}(x,y)=3x^{2}+11xy+15y^{2}
[/mm]
[mm] f_{2}(x,y)=35x^{2}+121xy+105y^{2}
[/mm]
[mm] f_{3}(x,y)=3x^{2}+5xy+7y^{2}
[/mm]
Bestimmen Sie zu jeder dieser quadratischen Formen die zugehörige reduzierte Form und geben Sie jeweils eine unimodulare Matrix [mm] T_{f_{i}} [/mm] an, die die Matrix [mm] F_{i} [/mm] der quadratischen Form [mm] f_{i}(x,y)=\vec{x^{t}}F_{i}\vex{x} [/mm] in die Matrix [mm] G_{i} [/mm] der zugehörigen reduzierten Form [mm] g_{i}(x,y)=\vex{x^{t}}G_{i}\vec{x} [/mm] überführt, d.h. [mm] G_{i}=T^{t}_{f_{i}}F_{i}T_{f_{i}} [/mm] |
hallo ihr lieben
ich bräuchte noch ein letztes mal eure Hilfe. Diesmal habe ich die komplette Lösung und so zu der Aufgabe schon, aber ich verstehe den Lösungsweg nicht ganz. Wir schreiben Do die Klausur und deswegen wäre es gut, wenn ihr es mir schnell und vorallem einfach erklären könntet :)
Also man muss ja erst die Diskriminante herausfinden. Das habe ich auch verstanden und dann alle Formen, die nicht reduziert sind, in reduzierte Formen überführen. Und ab da verstehe ich es nicht mehr.
Zu [mm] f_{1} [/mm] haben wir die Lösung:
[mm] f_{1}=\{3,11,15\} \mapsto T{-}\{3,5,7\} \mapsto T_{-}\{3,-1,5\} [/mm] mit [mm] T_{f_{1}}=T_{-}*T_{-}=\pmat{ 1 & -2 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Zu [mm] f_{2}:
[/mm]
[mm] f_{2}=\{35,121,105\} \mapsto T_{-}\{35,51,19\} \mapsto T_{0}\{19,-51,35\} \mapsto T_{+}\{19,-13,3\} \mapsto T_{0}\{3,13,19\} \mapsto T_{-}\{3,7,9\} \mapsto T_{-}\{3,1,5\} [/mm] mit [mm] T_{f_{2}}=T_{-}*T_{0}*T_{+}*T_{0}*T_{-}*T_{-}=\pmat{ -2 & 5 \\ 1 & -3 }
[/mm]
(die [mm] T_{0} [/mm] bzw [mm] T_{\pm} [/mm] sollen eigl auf die Pfeile, aber irgendwie hab ich das nicht hinbekommen:()
Also den Schritt mit [mm] T_{0} [/mm] verstehe ich, da tauscht man ja nur die erste und die letzte Zahl aus und die in der Mitte wird negativ.
Aber ich verstehe absolut nicht bzw. es macht absolut nicht Klick bei mir bei den anderen Schritten, also bei [mm] T_{\pm} [/mm] und was es da noch so gibt. Wie komme ich darauf bzw rechne ich das aus?
Und woher weiß ich, wann ich welches T nehmen muss?
Und eine ganz dumme Frage noch ;) Wodran erkennt man, dass die Formen äquivalent zueinander sind?
Ich danke euch jetzt schonmal für eure hoffentlich schnelle und gute Hilfe! :) Vielen Dank! :)
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Hallo Sunny1508,
> Untersuchen Sie, welche der folgenden positiv definiten
> quadratischen Formen zu einander äquivalent sind:
> [mm]f_{1}(x,y)=3x^{2}+11xy+15y^{2}[/mm]
> [mm]f_{2}(x,y)=35x^{2}+121xy+105y^{2}[/mm]
> [mm]f_{3}(x,y)=3x^{2}+5xy+7y^{2}[/mm]
> Bestimmen Sie zu jeder dieser quadratischen Formen die
> zugehörige reduzierte Form und geben Sie jeweils eine
> unimodulare Matrix [mm]T_{f_{i}}[/mm] an, die die Matrix [mm]F_{i}[/mm] der
> quadratischen Form [mm]f_{i}(x,y)=\vec{x^{t}}F_{i}\vex{x}[/mm] in
> die Matrix [mm]G_{i}[/mm] der zugehörigen reduzierten Form
> [mm]g_{i}(x,y)=\vex{x^{t}}G_{i}\vec{x}[/mm] überführt, d.h.
> [mm]G_{i}=T^{t}_{f_{i}}F_{i}T_{f_{i}}[/mm]
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> hallo ihr lieben
> ich bräuchte noch ein letztes mal eure Hilfe. Diesmal
> habe ich die komplette Lösung und so zu der Aufgabe schon,
> aber ich verstehe den Lösungsweg nicht ganz. Wir schreiben
> Do die Klausur und deswegen wäre es gut, wenn ihr es mir
> schnell und vorallem einfach erklären könntet :)
>
> Also man muss ja erst die Diskriminante herausfinden. Das
> habe ich auch verstanden und dann alle Formen, die nicht
> reduziert sind, in reduzierte Formen überführen. Und ab
> da verstehe ich es nicht mehr.
>
> Zu [mm]f_{1}[/mm] haben wir die Lösung:
> [mm]f_{1}=\{3,11,15\} \mapsto T{-}\{3,5,7\} \mapsto T_{-}\{3,-1,5\}[/mm]
> mit [mm]T_{f_{1}}=T_{-}*T_{-}=\pmat{ 1 & -2 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> Zu [mm]f_{2}:[/mm]
> [mm]f_{2}=\{35,121,105\} \mapsto T_{-}\{35,51,19\} \mapsto T_{0}\{19,-51,35\} \mapsto T_{+}\{19,-13,3\} \mapsto T_{0}\{3,13,19\} \mapsto T_{-}\{3,7,9\} \mapsto T_{-}\{3,1,5\}[/mm]
> mit [mm]T_{f_{2}}=T_{-}*T_{0}*T_{+}*T_{0}*T_{-}*T_{-}=\pmat{ -2 & 5 \\ 1 & -3 }[/mm]
>
> (die [mm]T_{0}[/mm] bzw [mm]T_{\pm}[/mm] sollen eigl auf die Pfeile, aber
> irgendwie hab ich das nicht hinbekommen:()
>
> Also den Schritt mit [mm]T_{0}[/mm] verstehe ich, da tauscht man ja
> nur die erste und die letzte Zahl aus und die in der Mitte
> wird negativ.
>
> Aber ich verstehe absolut nicht bzw. es macht absolut nicht
> Klick bei mir bei den anderen Schritten, also bei [mm]T_{\pm}[/mm]
> und was es da noch so gibt. Wie komme ich darauf bzw rechne
> ich das aus?
Betrachte die quadratische Form
[mm]a*x^{2}+b*x*y+c*y^{2}[/mm]
Läßt Du jetzt [mm]T_{-}[/mm] darauf los,
welches äquivalent mit
[mm]x=x'-y', \ y=y'[/mm]
ist, so ergibt sich:
[mm]a*\left(x'\right)^{2}+\left(b-2a\right)*x'*y'+\left(a+c-b\right)*\left(y'\right)^{2}[/mm]
Vom 2. Koeffizient b wird demnach das
Doppelte des 1. Koeffizienten a subtrahiert.
Zum 3. Koeffizienten wird der 1. Koeffzient a hinzuaddiert und der
2. Koeffizient b subtrahiert.
Analog für [mm]T_{+}[/mm]
Hier ist das Wort "subtrahiert" durch "addiert" zu ersetzen.
>
> Und woher weiß ich, wann ich welches T nehmen muss?
[mm]T_{+}[/mm] bzw. [mm]T_{-}[/mm] verändern
die Beträge der 2. und 3. Koeffizienten.
[mm]T_{0}[/mm] läßt die Beträge der Koeffiizienten unverändert.
>
> Und eine ganz dumme Frage noch ;) Wodran erkennt man, dass
> die Formen äquivalent zueinander sind?
Zwei äquivalente Formen haben dieselbe Diskriminante.
>
> Ich danke euch jetzt schonmal für eure hoffentlich
> schnelle und gute Hilfe! :) Vielen Dank! :)
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 Sa 05.02.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Und eine ganz dumme Frage noch ;) Wodran erkennt man, dass
> > die Formen äquivalent zueinander sind?
>
>
> Zwei äquivalente Formen haben dieselbe Diskriminante.
Vorsicht! Nur weil sie die gleiche Diskriminante haben, muessen sie noch lange nicht aequivalent sein!
Bei positiv definiten Formen gilt: zwei Formen sind genau dann aequivalent, wenn ihre Reduktionen gleich sind.
(Bei negativ definiten Formen bekommt man keine eindeutige Reduktion, sondern einen Zykel von Reduktionen. Da muss man dann den Zykel von einer Form berechnen und eine Reduktion der anderen Form, und schaun ob diese Reduktion im Zykel auftaucht.)
LG Felix
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also muss bei [mm] T_{+} [/mm] einfach alles addiert werden?
ok, vielen vielen lieben dank euch beiden! :)
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Hallo Sunny1508,
> also muss bei [mm]T_{+}[/mm] einfach alles addiert werden?
>
> ok, vielen vielen lieben dank euch beiden! :)
Gemäß meinen Ausführungen, ja.
Gruss
MathePower
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