positiv def <=> Rang A = n < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:54 Mo 04.07.2005 | | Autor: | DeusRa |
Hey hey,
da bin ich wieder, und habe auch eine Frage mitgebracht:
Stehe kurz vor den Klausuren, und bearbeite folgende Frage.
Wollte wissen, ob meine Ansätze richtig sind !! Und zwar zu folgender Aufgabe:
Es sei [mm] A\in M(m,n)[/mm] eine reelle Matrix.
Zeigen Sie:
[mm]A^{T}*A[/mm] positiv definit [mm] \gdw [/mm] Rang A = n.
So......man muss also zwei Richtungen zeigen:
[mm]A^{T}*A[/mm] positiv definit [mm] \subset [/mm] Rang A = n.
[mm]A^{T}*A[/mm] positiv definit [mm] \supset [/mm] Rang A = n.
[mm] \subset [/mm] : zz.: Rang A = n.
Sei [mm]A^{T}*A>0[/mm] [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm]A^{T}*A \in M(n,n)[/mm]
Aus pos.def folgt [mm] \Rightarrow[/mm] [mm] x^{T}*A^{T}*A*x>0[/mm] [mm] \forall x \in \IR
\Rightarrow (Ax)^{T}*Ax \ge 0[/mm]
Aber ab jetzt hänge ich.........
Ich muss irgendwie auf Rang A = n kommen.
Dies ist doch nur der Fall, wenn die Diagonaleinträge ungleich Null sind.
Aber wie soll ich von hieraus weitermachen ??
[mm] \supset [/mm] : zz: [mm]A^{T}*A>0[/mm]
Sei Rang A = n [mm] \Rightarrow
[/mm]
Kern A = 0.
Aber eigentlich habe ich für diese Richtung irgendwie sonst keine Idee.
Danke schon mal.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Di 05.07.2005 | | Autor: | Hexe |
> Hey hey,
>
> da bin ich wieder, und habe auch eine Frage mitgebracht:
>
> Stehe kurz vor den Klausuren, und bearbeite folgende
> Frage.
> Wollte wissen, ob meine Ansätze richtig sind !! Und zwar
> zu folgender Aufgabe:
>
> Es sei [mm]A\in M(m,n)[/mm] eine reelle Matrix.
> Zeigen Sie:
> [mm]A^{T}*A[/mm] positiv definit [mm]\gdw[/mm] Rang A = n.
>
> So......man muss also zwei Richtungen zeigen:
>
> [mm]A^{T}*A[/mm] positiv definit [mm]\subset[/mm] Rang A = n.
> [mm]A^{T}*A[/mm] positiv definit [mm]\supset[/mm] Rang A = n.
>
> [mm]\subset[/mm] : zz.: Rang A = n.
> Sei [mm]A^{T}*A>0[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]A^{T}*A \in M(n,n)[/mm]
> Aus pos.def folgt [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]x^{T}*A^{T}*A*x>0[/mm] [mm]\forall x \in \IR
\Rightarrow (Ax)^{T}*Ax \ge 0[/mm]
>
> Aber ab jetzt hänge ich.........
> Ich muss irgendwie auf Rang A = n kommen.
> Dies ist doch nur der Fall, wenn die Diagonaleinträge
> ungleich Null sind.
> Aber wie soll ich von hieraus weitermachen ??
Also wenn das Ding pos. def ist, dann sind insbesondere alle Eigenwerte >0 und damit sind die Eigenwerte von A [mm] \not= [/mm] 0 und damit hast du den maximalen Rang
> [mm]\supset[/mm] : zz: [mm]A^{T}*A>0[/mm]
> Sei Rang A = n [mm]\Rightarrow[/mm]
> Kern A = 0.
> Aber eigentlich habe ich für diese Richtung irgendwie
> sonst keine Idee.
Ok Rang A=n heisst alle Eigenwerte [mm] \not= [/mm] 0 und [mm] A^T [/mm] hat dieselben Eigenwerte wie A
Also hat [mm] A^T [/mm] A nur pos. Eigenwerte (-*-=+) und ist damit pos. def.
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