positiv definit, Determinante < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:50 Mi 12.05.2010 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
ich habe eine Matrix [mm] $A\in\IR^{n\times n}$, [/mm] die positiv definit ist, d.h.
[mm] $\exists\,\beta>0:\;\left_{\IR^n}\geqslant 2\beta\left\|x\right\|_{\IR^n}^2>0\quad\forall\,0\neq x\in\IR^n$
[/mm]
Gibt es nun einen Zusammenhang zwischen der Determinanten von $A$
[mm] $\mathrm{det}(A)=\left\|A\right\|$
[/mm]
und dem [mm] $\beta$ [/mm] aus der positiven Definitheit?
Ich waere dankbar, wenn dort jemand weiter weiss.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:11 Mi 12.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo an alle,
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> ich habe eine Matrix [mm]A\in\IR^{n\times n}[/mm], die positiv
> definit ist, d.h.
> [mm]\exists\,\beta>0:\;\left_{\IR^n}\geqslant 2\beta\left\|x\right\|_{\IR^n}^2>0\quad\forall\,0\neq x\in\IR^n[/mm]
>
> Gibt es nun einen Zusammenhang zwischen der Determinanten
> von [mm]A[/mm]
> [mm]\mathrm{det}(A)=\left\|A\right\|[/mm]
Wieso ist die Determinante gleich der Norm ?
Vielleicht meinst Du Spektralradius $r(A) =||A||$ ?
Das trifft zu , das A symmetrisch ist
Obiges [mm] \beta [/mm] kann so gewählt werden, dass [mm] $\beta [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] min [mm] \{ : ||x||=1 \}$
[/mm]
Und für den Spektralradius von A gilt: $r(A) = max [mm] \{ : ||x||=1\}$
[/mm]
FRED
> und dem [mm]\beta[/mm] aus der positiven Definitheit?
>
> Ich waere dankbar, wenn dort jemand weiter weiss.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Mi 12.05.2010 | | Autor: | Denny22 |
Hallo Fred,
danke zunaechst einmal fuer die Antwort.
> Wieso ist die Determinante gleich der Norm ?
>
> Vielleicht meinst Du Spektralradius [mm]r(A) =||A||[/mm] ?
Upps, natuerlich. Die Matrixnorm [mm] $\left\|A\right\|$ [/mm] bezeichnet die von der euklidischen Norm induzierte Spektralnorm.
> Das trifft zu , das A symmetrisch ist
>
> Obiges [mm]\beta[/mm] kann so gewählt werden, dass [mm]\beta = \bruch{1}{2} min \{ : ||x||=1 \}[/mm]
>
> Und für den Spektralradius von A gilt: [mm]r(A) = max \{ : ||x||=1\}[/mm]
>
> FRED
Ich habe in meinen Abschaetzungen den Term
[mm] $2\beta-4\left\|A\right\|$
[/mm]
Wie liese sich dieser Term mittels [mm] $\beta$ [/mm] ausdruecken? Denn ich brauche, dass dieser Term $>0$ ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 Mi 12.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> danke zunaechst einmal fuer die Antwort.
>
> > Wieso ist die Determinante gleich der Norm ?
> >
> > Vielleicht meinst Du Spektralradius [mm]r(A) =||A||[/mm] ?
>
> Upps, natuerlich. Die Matrixnorm [mm]\left\|A\right\|[/mm]
> bezeichnet die von der euklidischen Norm induzierte
> Spektralnorm.
>
> > Das trifft zu , das A symmetrisch ist
> >
> > Obiges [mm]\beta[/mm] kann so gewählt werden, dass [mm]\beta = \bruch{1}{2} min \{ : ||x||=1 \}[/mm]
>
> >
> > Und für den Spektralradius von A gilt: [mm]r(A) = max \{ : ||x||=1\}[/mm]
>
> >
> > FRED
>
> Ich habe in meinen Abschaetzungen den Term
> [mm]2\beta-4\left\|A\right\|[/mm]
> Wie liese sich dieser Term mittels [mm]\beta[/mm] ausdruecken? Denn
> ich brauche, dass dieser Term [mm]>0[/mm] ist.
Es hilft nichts, das gilt nicht, denn
$ [mm] 2\beta [/mm] = min [mm] \{ : ||x||=1 \} \le [/mm] max [mm] \{ : ||x||=1\}= [/mm] r(A) = ||A||$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:42 Do 13.05.2010 | | Autor: | Denny22 |
> > Ich habe in meinen Abschaetzungen den Term
> > [mm]2\beta-4\left\|A\right\|[/mm]
> > Wie liese sich dieser Term mittels [mm]\beta[/mm] ausdruecken?
> Denn
> > ich brauche, dass dieser Term [mm]>0[/mm] ist.
>
>
> Es hilft nichts, das gilt nicht, denn
>
> [mm]2\beta = min \{ : ||x||=1 \} \le max \{ : ||x||=1\}= r(A) = ||A||[/mm]
>
>
> FRED
Stimmt, es sollte doch kleiner 0 sein. Vielen Dank.
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