potenzreihenentwicklung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:17 So 21.11.2010 | | Autor: | clee |
| Aufgabe | | folgende situation: ich habe gezeigt, dass [mm] \phi:=\summe_{\omega\in M}^{}\bruch{1}{(z-w)^2}\bruch{1}{w^2} [/mm] mit [mm] M\subset\Gamma\backslash\{0\} [/mm] und [mm] \Gamma [/mm] Gitter auf [mm] $\IC\backslash [/mm] M$ normal konvergiert und soll nun zeigen, dass es dort eine analytische funktion darstellt. |
das heißt doch, ich soll zeigen, dass sich [mm] \phi [/mm] um jedes [mm] $z_0 \in \IC\backslash [/mm] M $ in eine potenzreihe entwickeln lässt. komme im moment mit dem ganzen thema potenzreihenentwicklung etc nicht so richtig zurecht. folgt nicht schon, dass eine reihe die in einem punkt konvergiert sich in diesem als potenzreihe schreiben kann? falls das so ist, warum genau ist es so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:14 Mo 22.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> folgende situation: ich habe gezeigt, dass
> [mm]\phi:=\summe_{\omega\in M}^{}\bruch{1}{(z-w)^2}\bruch{1}{w^2}[/mm]
> mit [mm]M\subset\Gamma\backslash\{0\}[/mm] und [mm]\Gamma[/mm] Gitter auf
> [mm]\IC\backslash M[/mm] normal konvergiert und soll nun zeigen,
> dass es dort eine analytische funktion darstellt.
Wobei du damit doch schon fast fertig ist.
Jetzt musst du nur noch einen Satz anwenden: ist [mm] $\sum_{n=1}^\infty f_n$ [/mm] eine Reihe mit analytischen Funktionen [mm] $f_n$, [/mm] die normal auf einem Gebiet $G$ konvergiert, dann ist die Grenzfunktion analytisch.
So einen Satz hattet ihr doch sicher schon in der Vorlesung? Wenn du dir nicht sicher bist, guck nach. (Stichwort: ![[]](/images/popup.gif) Satz von Weierstrass.)
> das heißt doch, ich soll zeigen, dass sich [mm]\phi[/mm] um jedes
> [mm]z_0 \in \IC\backslash M[/mm] in eine potenzreihe entwickeln
> lässt. komme im moment mit dem ganzen thema
> potenzreihenentwicklung etc nicht so richtig zurecht. folgt
> nicht schon, dass eine reihe die in einem punkt konvergiert
> sich in diesem als potenzreihe schreiben kann?
Nein. Das folgt nicht.
Erstens willst du Konvergenz in einer Umgebung des Punktes, nicht nur in dem Punkt.
Und zweitens sollte die Konvergenz in einer klein genugen Umgebung gleichmaessig sein! Ansonsten kannst du nichtmals garantieren, dass die Grenzfunktion ueberhaupt stetig ist.
Du brauchst einen Satz wie den oben von mir genannten. Wenn du so einen nicht hattest, solltest du versuchen ihn selber zu zeigen.
LG Felix
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