prim / irreduzibel < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Do 27.01.2011 | | Autor: | erisve |
| Aufgabe | In welcher der folgenden Ringe ist 7
(i) prin
(ii) irreduzibel ?
(a) [mm] \IZ[i]
[/mm]
(b) [mm] \IZ[\wurzel{3}]
[/mm]
(c) [mm] \IZ[\wurzel{-10}]
[/mm]
(d) [mm] \IZ[\pi] [/mm] |
Hallo,
obige Frage kann ich auch nicht so ganz beantworten .
Mein Ansatz wäre :
für a) betrachte (a+bi)*(x+yi)=7
also ax+ayi+bix-by=7
ax+by=7 und ay+bx=0
aber wie sehe ich ob dies Gleichungssystem eine Lösung in den ganzen Zahlen hat?
Gibts einen besseren Weg?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:36 Fr 28.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> In welcher der folgenden Ringe ist 7
> (i) prin
> (ii) irreduzibel ?
> (a) [mm]\IZ[i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] (b) [mm]\IZ[\wurzel{3}][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] (c) [mm]\IZ[\wurzel{-10}][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] (d) [mm]\IZ[\pi][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] Hallo,[/i][/mm]
> [mm][i] obige Frage kann ich auch nicht so ganz beantworten .[/i][/mm]
> [mm][i] Mein Ansatz wäre :[/i][/mm]
> [mm][i] für a) betrachte (a+bi)*(x+yi)=7[/i][/mm]
> [mm][i] also ax+ayi+bix-by=7[/i][/mm]
> [mm][i] ax+by=7 und ay+bx=0[/i][/mm]
> [mm][i] aber wie sehe ich ob dies Gleichungssystem eine Lösung in [/i][/mm]
> [mm][i]den ganzen Zahlen hat? [/i][/mm]
> [mm][i]Gibts einen besseren Weg? [/i][/mm]
Schau dir die Norm $N : [mm] \IZ[i] \to \IN$, [/mm] $a + b i [mm] \mapsto [/mm] (a + b i) (a - b i) = [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2$ [/mm] an. Diese ist multiplikativ und $N(7) = [mm] 7^2$. [/mm] Weiterhin gilt $N(x) = [mm] \pm [/mm] 1 [mm] \Leftrightarrow [/mm] x$ Einheit.
Falls also 7 zerlegbar ist, muessen beide Faktoren Norm 7 haben. Schau jetzt mal ob du $a, b [mm] \in \IZ$ [/mm] finden kannst mit [mm] $a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = 7$.
Bei (b) und (c) kannst du aehnlich vorgehen, du musst halt die Normfunktion etwas anpassen.
Bei (d) beachte, dass [mm] $\pi$ [/mm] transzendent ueber [mm] $\IQ$ [/mm] ist. Wozu ist [mm] $\IZ[\pi]$ [/mm] somit isomorph?
LG Felix
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