primideal < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 So 21.06.2009 | | Autor: | lenz |
| Aufgabe | Sei R(assoziativer,unitärer)kommutativer Ring,P ein Primideal in R.
zeigen sie:
a)sind A,B Ideale in R mit [mm] A\cap B\subseteq [/mm] P,so gilt [mm] A\subseteq [/mm] P oder
[mm] B\subseteq [/mm] P
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Hallo
Es ist zu zeigen daß nicht A und B Elemente enthalten können die nicht
in P enthalten sind.Hat vielleicht jemand einen Tip.Hab keine Ahnung wie ich das zeigen kann.In [mm] \IZ [/mm] ist es glaube ich so daß ein Ideal das zusätzlich zu einem Primideal ein weiteres Ideal enthält [mm] \IZ [/mm] ist,da die Vereinigung
zweier Ideale in [mm] \IZ [/mm] der ggT ist.Hab keine Ahnung inwiefern das für andere
Ringe gilt.
Gruß Lennart
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:13 Mo 22.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> sind A,B Ideale in R mit [mm]A\cap B\subseteq P[/mm],so gilt
> [mm]A\subseteq P[/mm] oder [mm]B\subseteq P[/mm].
Ist [mm] $A\not\subseteq [/mm] P$, so wähle [mm] $a\in A\setminus [/mm] P$. Für jedes [mm] $b\in [/mm] B$ gilt dann [mm] $ab\in A\cap B\subseteq [/mm] P$, also gilt, da P Primideal ist, [mm] $a\in [/mm] P$ (was nicht sein) oder [mm] $b\in [/mm] P$. Da [mm] $b\in [/mm] B$ beliebig war, folgt [mm] $B\subseteq [/mm] P$.
Gruß, Robert
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