primitiv < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:08 Fr 07.04.2006 | | Autor: | cycilia |
| Aufgabe | | Seien m, n [mm] \in \IN [/mm] teilerfremd und [mm] \alpha,\beta \in \IC, [/mm] so dass gilt: [mm] \alpha^m [/mm] = 2 und [mm] \beta^n=3. [/mm] Zeige, dass [mm] \alpha\beta [/mm] ein primitives Element von [mm] \IQ(\alpha,\beta) [/mm] ist. |
Nach dem Hauptsatz über primitive Elemente existiert für [mm] \IQ(\alpha,\beta) [/mm] ein primitives Elment, da [mm] char(\IQ) [/mm] = 0 ist. Also ist zu zeigen, dass [mm] \IQ(\alpha,\beta) [/mm] = [mm] \IQ(\alpha\beta).
[/mm]
Zunächst habe ich die Minimalpolynome von [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta:
[/mm]
[mm] f(x) = x^m - 2 [/mm] und [mm] g(x) = x^n - 3 [/mm].
Wie gehe ich nun an die Aufgabe heran? Irgendwelche Tipps?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Fr 07.04.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Anja,
> Seien m, n [mm]\in \IN[/mm] teilerfremd und [mm]\alpha,\beta \in \IC,[/mm]
> so dass gilt: [mm]\alpha^m[/mm] = 2 und [mm]\beta^n=3.[/mm] Zeige, dass
> [mm]\alpha\beta[/mm] ein primitives Element von [mm]\IQ(\alpha,\beta)[/mm]
> ist.
> Nach dem Hauptsatz über primitive Elemente existiert für
> [mm]\IQ(\alpha,\beta)[/mm] ein primitives Elment, da [mm]char(\IQ)[/mm] = 0
> ist. Also ist zu zeigen, dass [mm]\IQ(\alpha,\beta)[/mm] =
> [mm]\IQ(\alpha\beta).[/mm]
>
> Zunächst habe ich die Minimalpolynome von [mm]\alpha[/mm] und
> [mm]\beta:[/mm]
> [mm]f(x) = x^m - 2[/mm] und [mm]g(x) = x^n - 3 [/mm].
versuch mal zu zeigen, daß [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] in [mm]\IQ(\alpha\beta)[/mm] liegen. Dazu löst du die Gleichung 1 = rm + sn, das geht wg. Teilerfremdheit.
Dann betrachtest du [mm] (\alpha \beta)^{sn}, [/mm] das ergibt [mm] 3er-Potenz*2er-Potenz*\alpha, [/mm] und ebenso [mm] (\alpha \beta)^{rm}, [/mm] das ergibt [mm] 3er-Potenz*2er-Potenz*\beta.
[/mm]
Jetzt bist du mit ein bißchen Feinargumentation fertig!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Fr 07.04.2006 | | Autor: | cycilia |
> versuch mal zu zeigen, daß [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] in
> [mm]\IQ(\alpha\beta)[/mm] liegen. Dazu löst du die Gleichung 1 = rm
> + sn, das geht wg. Teilerfremdheit.
Das wäre dann der euklidische Divisionsalgorithmus. Wirkliche Ergebnisse kriege ich hier ja nun aber nicht, da ich n und m ja nicht kenne. Durch die Teilerfremdheit weiss ich aber immerhin, dass der Algorithmus irgendwann den Rest 1 lässt, also eine Gleichung diese Art erfüllt sein muss. Wenn ich nun weiß, dass diese Gleichung erfüllt ist, dann gilt doch
[mm] \alpha = \alpha rm + \alpha sn = \alpha (rm+sn) [/mm] kann ich daraus irgendwie folgern, das [mm] \alpha [/mm] in [mm]\IQ(\alpha\beta)[/mm] liegt?
> Dann betrachtest du [mm](\alpha \beta)^{sn},[/mm] das ergibt
> [mm]3er-Potenz*2er-Potenz*\alpha,[/mm] und ebenso [mm](\alpha \beta)^{rm},[/mm]
> das ergibt [mm]3er-Potenz*2er-Potenz*\beta.[/mm]
Und jetzt muss ich leider weg und überlegr später hier weiter.
> Jetzt bist du mit ein bißchen Feinargumentation fertig!
>
> Gruß aus HH-Harburg
> Dieter
>
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Fr 07.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > versuch mal zu zeigen, daß [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] in
> > [mm]\IQ(\alpha\beta)[/mm] liegen. Dazu löst du die Gleichung 1 = rm
> > + sn, das geht wg. Teilerfremdheit.
>
> Das wäre dann der euklidische Divisionsalgorithmus.
> Wirkliche Ergebnisse kriege ich hier ja nun aber nicht, da
> ich n und m ja nicht kenne. Durch die Teilerfremdheit weiss
> ich aber immerhin, dass der Algorithmus irgendwann den Rest
> 1 lässt, also eine Gleichung diese Art erfüllt sein muss.
Genau. Die konkreten Werte brauchst du nicht zu kennen.
> Wenn ich nun weiß, dass diese Gleichung erfüllt ist, dann
> gilt doch
> [mm]\alpha = \alpha rm + \alpha sn = \alpha (rm+sn)[/mm] kann ich
> daraus irgendwie folgern, das [mm]\alpha[/mm] in [mm]\IQ(\alpha\beta)[/mm]
> liegt?
Das bringt dir nichts. Mach doch mal das, was Dieter vorgeschlagen hat, also rechne [mm] $(\alpha \beta)^{s n}$ [/mm] aus (und denk dran, dass $s n = 1 - r m$ ist). Und dann rechne [mm] $(\alpha \beta)^{r m}$ [/mm] aus.
> > Dann betrachtest du [mm](\alpha \beta)^{sn},[/mm] das ergibt
> > [mm]3er-Potenz*2er-Potenz*\alpha,[/mm] und ebenso [mm](\alpha \beta)^{rm},[/mm]
> > das ergibt [mm]3er-Potenz*2er-Potenz*\beta.[/mm]
>
> Und jetzt muss ich leider weg und überlegr später hier
> weiter.
Lies dir doch bitte demnaechst erstmal das komplete Posting durch, insb. den Teil unter dem du das jetzt geschrieben hast, bevor du weitere 'Fragen' (wie diese) stellst!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:53 Fr 07.04.2006 | | Autor: | cycilia |
> Hallo!
>
> > > versuch mal zu zeigen, daß [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] in
> > > [mm]\IQ(\alpha\beta)[/mm] liegen. Dazu löst du die Gleichung 1 = rm
> > > + sn, das geht wg. Teilerfremdheit.
> >
> > Das wäre dann der euklidische Divisionsalgorithmus.
> > Wirkliche Ergebnisse kriege ich hier ja nun aber nicht, da
> > ich n und m ja nicht kenne. Durch die Teilerfremdheit weiss
> > ich aber immerhin, dass der Algorithmus irgendwann den Rest
> > 1 lässt, also eine Gleichung diese Art erfüllt sein muss.
>
> Genau. Die konkreten Werte brauchst du nicht zu kennen.
>
> > Wenn ich nun weiß, dass diese Gleichung erfüllt ist, dann
> > gilt doch
> > [mm]\alpha = \alpha rm + \alpha sn = \alpha (rm+sn)[/mm] kann
> ich
> > daraus irgendwie folgern, das [mm]\alpha[/mm] in [mm]\IQ(\alpha\beta)[/mm]
> > liegt?
>
> Das bringt dir nichts. Mach doch mal das, was Dieter
> vorgeschlagen hat, also rechne [mm](\alpha \beta)^{s n}[/mm] aus
> (und denk dran, dass [mm]s n = 1 - r m[/mm] ist). Und dann rechne
> [mm](\alpha \beta)^{r m}[/mm] aus.
>
> > > Dann betrachtest du [mm](\alpha \beta)^{sn},[/mm] das ergibt
> > > [mm]3er-Potenz*2er-Potenz*\alpha,[/mm] und ebenso [mm](\alpha \beta)^{rm},[/mm]
> > > das ergibt [mm]3er-Potenz*2er-Potenz*\beta.[/mm]
> >
> > Und jetzt muss ich leider weg und überlegr später hier
> > weiter.
>
> Lies dir doch bitte demnaechst erstmal das komplete Posting
> durch, insb. den Teil unter dem du das jetzt geschrieben
> hast, bevor du weitere 'Fragen' (wie diese) stellst!
Halt! Ich habe schon das komplette Posting gelesen und auch da schon eine ganze Weile drüber nachgedacht. Ich stand nur in einer Hinsicht auf dem Schlauch: Ich dachte, mit der ersten Gleichung würde man schon zeigen, dass [mm] \alpha [/mm] in [mm] \IQ(\alpha\beta) [/mm] liegt und dort überlegte ich dann ca. 30 Minuten herum, warum das denn der Fall ist.... Und ich dachte der zweite Teil war notwendig, um zu zeigen, dass die beiden Körper gleich sind. Auch nach mehrfachem Lesen war ich noch dieser Meinung! *dumm* Natürlich ist das nicht der Fall, aber das war mir halt nicht klar. Die Feinargumentation habe ich dann noch weiter auf den meiner Meinung nach zweiten Teil bezogen..... Sorry!!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:09 Fr 07.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Lies dir doch bitte demnaechst erstmal das komplete Posting
> > durch, insb. den Teil unter dem du das jetzt geschrieben
> > hast, bevor du weitere 'Fragen' (wie diese) stellst!
>
> Halt! Ich habe schon das komplette Posting gelesen und auch
> da schon eine ganze Weile drüber nachgedacht. Ich stand nur
> in einer Hinsicht auf dem Schlauch: Ich dachte, mit der
> ersten Gleichung würde man schon zeigen, dass [mm]\alpha[/mm] in
> [mm]\IQ(\alpha\beta)[/mm] liegt und dort überlegte ich dann ca. 30
> Minuten herum, warum das denn der Fall ist.... Und ich
> dachte der zweite Teil war notwendig, um zu zeigen, dass
> die beiden Körper gleich sind. Auch nach mehrfachem Lesen
> war ich noch dieser Meinung! *dumm* Natürlich ist das nicht
> der Fall, aber das war mir halt nicht klar. Die
> Feinargumentation habe ich dann noch weiter auf den meiner
> Meinung nach zweiten Teil bezogen..... Sorry!!!!
Ist ok  Hast du die Aufgabe denn mittlerweile hinbekommen?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:24 Fr 07.04.2006 | | Autor: | cycilia |
Leider bin ich total müde, war den ganzen restlichen Tag unterwegs, einen Computer installieren, Dinge schleppen usw. Erst jetzt habe ich nochmal die Zeit gefunden, mich hier dran zu setzen und werde von einem Kater, der sich vernachlässigt fühlt geärgert.... Heute gibt das aber glaub ich nix mehr.
Klar ist: [mm] (\alpha\beta)^{sn}=\alpha^{sn}\beta^{sn} =
\alpha^{1-rm}3^s =\alpha 2^{-r}3^s [/mm] und
[mm] (\alpa\beta)^{rm} = 2^r\beta 3^{-s} [/mm]
Dementsprechend sind
[mm] \alpha [/mm] = [mm] 2^r3^{-s}*(\alpha\beta)^sn [/mm] und
und [mm] \beta [/mm] in [mm] \IQ(\alpha\beta) [/mm] enthalten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:28 Fr 07.04.2006 | | Autor: | felixf |
> Leider bin ich total müde, war den ganzen restlichen Tag
> unterwegs, einen Computer installieren, Dinge schleppen
> usw. Erst jetzt habe ich nochmal die Zeit gefunden, mich
> hier dran zu setzen und werde von einem Kater, der sich
> vernachlässigt fühlt geärgert.... Heute gibt das aber glaub
> ich nix mehr.
Du hoerst dich ja so an als waerst du umgezogen! Kein Wunder das du k.o. bist, schlaf am besten erstmal ne Runde :)
> Klar ist: [mm](\alpha\beta)^{sn}=\alpha^{sn}\beta^{sn} =
\alpha^{1-rm}3^s =\alpha 2^{-r}3^s[/mm]
> und
> [mm](\alpa\beta)^{rm} = 2^r\beta 3^{-s}[/mm]
> Dementsprechend sind
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]2^r3^{-s}*(\alpha\beta)^sn[/mm] und
> und [mm]\beta[/mm] in [mm]\IQ(\alpha\beta)[/mm] enthalten.
Genau! Und was bedeutet das jetzt fuer [mm] $\IQ(\alpha\beta)$ [/mm] und [mm] $\IQ(\alpha, \beta)$?
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:41 Fr 07.04.2006 | | Autor: | cycilia |
.> > Leider bin ich total müde, war den ganzen restlichen Tag
> > unterwegs, einen Computer installieren, Dinge schleppen
> > usw. Erst jetzt habe ich nochmal die Zeit gefunden, mich
> > hier dran zu setzen und werde von einem Kater, der sich
> > vernachlässigt fühlt geärgert.... Heute gibt das aber glaub
> > ich nix mehr.
>
> Du hoerst dich ja so an als waerst du umgezogen! Kein
> Wunder das du k.o. bist, schlaf am besten erstmal ne Runde
> :)
Neee, ich bin nicht umgezogen (kommt aber auch jetzt im Mai....) aber ne Freundin von mir. Najo, für mich ist das im Moment eh alles sehr stressig, weil ich für 3 Fächer gleichzeitig lernen muss (Endprüfung). Teilweise lässt dann die Konzentrationsfähigkeit extrem nach und man kann Dinge nicht mehr, die man wirklich können sollte. Noch dazu kommt, dass ich Bereich Algebra immer große Schwierigkeiten hatte, der Analysis-Bereich fällt mir deutlich leichter (Algebra macht aber trotzdem mehr Spass). Bin ich froh, hier HIlfe zu finden, bei Fragen an denen ich sonst Tage sitzen würde (falls ich es überhaupt hinkriegen würde)
> Genau! Und was bedeutet das jetzt fuer [mm]\IQ(\alpha\beta)[/mm] und
> [mm]\IQ(\alpha, \beta)[/mm]?
Die beiden Körper müssen gleich sein, was mir jetzt aber noch nicht ganz klar ist. Was ich noch weiss ist, dass [mm] \IQ(\alpha\beta) [/mm] der kleinste Erweiterungskörper ist, der [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] enthält. Woher weiss ich, dass [mm] \IQ(\alpha\beta) [/mm] nicht mehr Elemente enthält?
Hmm, wenn ich recht überlege müssen nach Körperdefinition lediglich alle Elemente von [mm] \IQ, [/mm] sowie alle Kombinationen [mm] \alpha^i\beta^j* [/mm] Element aus [mm] \IQ [/mm] enthalten sein <--- dieses ist klar. Und noch die Summen z.B. [mm] \alpa +\IQ, [/mm] was aber auch klar ist, da [mm] \IQ(\alpha\beta) [/mm] ein Körper ist.
Also ja, ich glaube, die Aufgabe ist gelöst!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:21 Sa 08.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Du hoerst dich ja so an als waerst du umgezogen! Kein
> > Wunder das du k.o. bist, schlaf am besten erstmal ne Runde
> > :)
>
> Neee, ich bin nicht umgezogen (kommt aber auch jetzt im
> Mai....) aber ne Freundin von mir. Najo, für mich ist das
> im Moment eh alles sehr stressig, weil ich für 3 Fächer
> gleichzeitig lernen muss (Endprüfung).
Ist es denn eine Endpruefung ueber ein Gebiet der Mathematik (Algebra), oder ist es eine ueber alles gleichzeitig?
> [...]
> (Algebra macht aber trotzdem mehr Spass).
Schoen das zu hoeren 
> Bin ich froh,
> hier HIlfe zu finden, bei Fragen an denen ich sonst Tage
> sitzen würde (falls ich es überhaupt hinkriegen würde)
Wie lange hast du denn noch Zeit bis zu der Pruefung? Ich drueck dir auf jeden Fall schonmal die Daumen!
>
> > Genau! Und was bedeutet das jetzt fuer [mm]\IQ(\alpha\beta)[/mm] und
> > [mm]\IQ(\alpha, \beta)[/mm]?
>
> Die beiden Körper müssen gleich sein, was mir jetzt aber
> noch nicht ganz klar ist. Was ich noch weiss ist, dass
> [mm]\IQ(\alpha\beta)[/mm] der kleinste Erweiterungskörper ist, der
> [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] enthält. Woher weiss ich, dass
Nicht ganz, er ist der kleinste Erweiterungskoerper, der das Element [mm] $\alpha \beta$ [/mm] enthaelt! Wenn du den kleinsten Erweiterungskoerper suchst, der [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] enthaelt, dann ist das [mm] $\IQ(\alpha, \beta)$.
[/mm]
Oder hast du schon die Aufgabe als geloest angesehen und weisst daher dass [mm] $\IQ(\alpha, \beta) [/mm] = [mm] \IQ(\alpha \beta)$ [/mm] ist? :)
> [mm]\IQ(\alpha\beta)[/mm] nicht mehr Elemente enthält?
Was meinst du mit 'nicht mehr Elemente'? [mm] $\IQ(\alpha \beta)$ [/mm] enthaelt viel mehr Elemente als [mm] $\IQ$, $\alpha$, $\beta$ [/mm] und [mm] $\alpha \beta$.
[/mm]
Man kann sogar alle Elemente genau angeben: Wenn $K [mm] \subseteq [/mm] L$ eine Koerpererweiterung ist und [mm]\alpha_1, \dots, \alpha_n \in L[/mm] sind, dann ist [mm]K[\alpha_1, \dots, \alpha_n] = \{ f(\alpha_1, \dots, \alpha_n) \mid f \in K[x_1, \dots, x_n] \}[/mm] und [mm]K(\alpha_1, \dots, \alpha_n) = \left\{ \frac{f(\alpha_1, \dots, \alpha_n)}{g(\alpha_1, \dots, \alpha_n)} \;\middle|\l f, g \in K[x_1, \dots, x_n], \; g(\alpha_1, \dots, \alpha_n)
\neq 0 \right\}[/mm].
> Hmm, wenn ich recht überlege müssen nach Körperdefinition
> lediglich alle Elemente von [mm]\IQ,[/mm] sowie alle Kombinationen
> [mm]\alpha^i\beta^j*[/mm] Element aus [mm]\IQ[/mm] enthalten sein <--- dieses
> ist klar. Und noch die Summen z.B. [mm]\alpa +\IQ,[/mm] was aber
> auch klar ist, da [mm]\IQ(\alpha\beta)[/mm] ein Körper ist.
Ja. Und auch noch Inverse. Und davon wieder die Summen etc.
> Also ja, ich glaube, die Aufgabe ist gelöst!
Schoen
Der Vollstaendigkeit halber: Ist $K [mm] \subseteq [/mm] M$ eine Koerpererweiterung, $L$ ein Zwischenkoerper und [mm] $\alpha_1, \dots, \alpha_n \in [/mm] M$, so ist [mm] $K(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ [/mm] genau dann in $L$ enthalten, wenn [mm] $\alpha_1, \dots, \alpha_n \in [/mm] L$ liegen. Daraus folgt: [mm] $\alpha\beta \in \IQ(\alpha, \beta) \Rightarrow \IQ(\alpha\beta) \subseteq \IQ(\alpha, \beta)$ [/mm] und [mm] $\alpha, \beta \in \IQ(\alpha\beta) \Rightarrow \IQ(\alpha, \beta) \subseteq \IQ(\alpha\beta)$, [/mm] also [mm] $\IQ(\alpha, \beta) [/mm] = [mm] \IQ(\alpha\beta)$.
[/mm]
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Sa 08.04.2006 | | Autor: | cycilia |
> Ist es denn eine Endpruefung ueber ein Gebiet der
> Mathematik (Algebra), oder ist es eine ueber alles
> gleichzeitig?
In Mathe: Algebra und Funktionentheorie, danach bin ich dann mit dem studium fertig. In Informatik: Kryptographie, Basisinformationstechnologie und Softwaretechnologie Java, in Pädagogik auch noch ne Klausur und eine mündliche.... insgesamt also recht viel. Insgesamt habe ich übrigens auch meine Abschlußarbeit mehr oder minder in einem Teilbereich der Mathematik geschrieben: ein Programm, was Schülern dabei hilft, mit Textaufgaben klar zu kommen.
> Wie lange hast du denn noch Zeit bis zu der Pruefung? Ich
> drueck dir auf jeden Fall schonmal die Daumen!
Leider wurden mir trotz langem vorherigen Nachfragen die Prüfungsgebiete in Mathe erst Anfang Februar mitgeteilt (da hatte ich erstmal Panik....) - die Mathe-Prüfung ist meine zweite Prüfung: 20.Mai. Vorher aber noch Info. Danke!
> Nicht ganz, er ist der kleinste Erweiterungskoerper, der
> das Element [mm]\alpha \beta[/mm] enthaelt! Wenn du den kleinsten
> Erweiterungskoerper suchst, der [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] enthaelt,
> dann ist das [mm]\IQ(\alpha, \beta)[/mm].
Aeh, ja diesen meinte ich auch..... danach habe ich dann aber erst begründet warum die Körper gleich sind... *g*
>
> Oder hast du schon die Aufgabe als geloest angesehen und
> weisst daher dass [mm]\IQ(\alpha, \beta) = \IQ(\alpha \beta)[/mm]
> ist? :)
Nein, ich hatte überlegt, wie die beiden Körper aussehen und bin dann zu dem schluss gekommen, dass die beiden Körper gleich sein müssen.
> Was meinst du mit 'nicht mehr Elemente'? [mm]\IQ(\alpha \beta)[/mm]
> enthaelt viel mehr Elemente als [mm]\IQ[/mm], [mm]\alpha[/mm], [mm]\beta[/mm] und
> [mm]\alpha \beta[/mm].
nein, ich meinte nicht mehr elemente als der andere körper.
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