primitive n-te Einheitswurzel < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Fr 17.04.2009 | | Autor: | fin129 |
| Aufgabe | | Sei R ein kommutativer Ring mit 1 (Einselement, neutrales Element der Multiplikation), in dem das Inverse von 2 = 1 + 1 existiert. Sei [mm] $w\in [/mm] R$ eine primitive n-te Einheitswurzel in R und n gerade. Zeigen Sie, dass dann [mm] $w^2$ [/mm] eine primitive (n/2)-te Einheitswurzel in R ist. |
Wissen, dass gilt:
1) $w [mm] \neq [/mm] 1$
2) [mm] $w^n [/mm] =1$
3) [mm] $\sum_{j=0}^{n-1}w^{jk} [/mm] = 0$ [mm] $\forall k=1,\ldots,n-1$
[/mm]
4) [mm] $\underbrace{1+1+\ldots+1}_{n \text{ mal}} \neq [/mm] 0$
Zu zeigen:
i) [mm] $w^2 \neq [/mm] 1$
ii) [mm] $(w^2)^{\frac{n}{2}} [/mm] =1$
iii) [mm] $\sum_{j=0}^{\frac{n}{2}-1}(w^2)^{jk} [/mm] = 0$ [mm] $\forall k=1,\ldots,\frac{n}{2}-1$
[/mm]
iv) [mm] $\underbrace{1+1+\ldots+1}_{\frac{n}{2} \text{ mal}} \neq [/mm] 0$
Beweis
i) wäre [mm] $w^2 [/mm] = 1$, dann wäre für $k=2$ Eigenschaft 3) nicht erfüllt:
[mm] $\sum_{j=0}^{n-1}(w)^{2j} [/mm] = [mm] \sum_{j=0}^{n-1}(w^2)^{j} [/mm] = [mm] \sum_{j=0}^{n-1}1^{j} [/mm] = [mm] \underbrace{1+1+\ldots+1}_{n \text{ mal}} \neq [/mm] 0$
ii) trivial
[mm] $(w^2)^{\frac{n}{2}} [/mm] = [mm] w^{\frac{2n}{2}} [/mm] = [mm] w^n [/mm] =1$ wegen 2)
iv) Annahme: [mm] $\underbrace{1+1+\ldots+1}_{\frac{n}{2} \text{ mal}} [/mm] = 0$ dann entsteht ein Wiederspruch zu 4), denn
$0 [mm] \neq \underbrace{1+1+\ldots+1}_{n \text{ mal}} [/mm] = [mm] \underbrace{1+1+\ldots+1}_{\frac{n}{2} \text{ mal}} [/mm] + [mm] \underbrace{1+1+\ldots+1}_{\frac{n}{2} \text{ mal}} [/mm] = 0+0 = 0$
Nur der Beweis zu iii) macht mir Probleme, meine Idee war, Eigenschaft 3) in zwei Summen aufzuteilen:
[mm] $\forall k=1,\ldots,n-1:$ [/mm] $0 = [mm] \sum_{j=0}^{n-1}w^{jk} [/mm] = [mm] \sum_{j=0}^{\frac{n}{2}-1}w^{jk} [/mm] + [mm] \sum_{j=\frac{n}{2}}^{n-1}w^{jk}$
[/mm]
allerdings komme ich an dieser Stelle nicht mehr weiter.
Kann mir jemand weiterhelfen, oder ist ein anderer Ansatz nötig.
Sollten in i), ii) und iv) bereits Fehler sein, bitte melden.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:32 Sa 18.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei R ein kommutativer Ring mit 1 (Einselement, neutrales
> Element der Multiplikation), in dem das Inverse von 2 = 1 +
> 1 existiert. Sei [mm]w\in R[/mm] eine primitive n-te Einheitswurzel
> in R und n gerade. Zeigen Sie, dass dann [mm]w^2[/mm] eine primitive
> (n/2)-te Einheitswurzel in R ist.
>
> Wissen, dass gilt:
> 1) [mm]w \neq 1[/mm]
> 2) [mm]w^n =1[/mm]
> 3) [mm]\sum_{j=0}^{n-1}w^{jk} = 0[/mm]
> [mm]\forall k=1,\ldots,n-1[/mm]
> 4) [mm]\underbrace{1+1+\ldots+1}_{n \text{ mal}} \neq 0[/mm]
Das sind also eure Bedingungen, damit $w$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel ist?
(Normalerweise fordert man doch einfach, dass [mm] $w^n [/mm] = 1$ ist und [mm] $w^j \neq [/mm] 1$ fuer $0 < j < n$. Oder ist hier die Summenbedingung wichtig, etwa weil man eine Diskrete Fouriertransformation machen moechte?)
Und was ist, wenn $n = 1$ ist? Dann widersprechen sich die Bedingungen 1) und 2).
> Zu zeigen:
> i) [mm]w^2 \neq 1[/mm]
Das hier kann also nicht erfuellt sein, wenn $n = 2$ war.
> ii) [mm](w^2)^{\frac{n}{2}} =1[/mm]
> iii)
> [mm]\sum_{j=0}^{\frac{n}{2}-1}(w^2)^{jk} = 0[/mm] [mm]\forall k=1,\ldots,\frac{n}{2}-1[/mm]
> iv) [mm]\underbrace{1+1+\ldots+1}_{\frac{n}{2} \text{ mal}} \neq 0[/mm]
>
> Beweis
> i) wäre [mm]w^2 = 1[/mm], dann wäre für [mm]k=2[/mm] Eigenschaft 3) nicht
> erfüllt:
> [mm]\sum_{j=0}^{n-1}(w)^{2j} = \sum_{j=0}^{n-1}(w^2)^{j} = \sum_{j=0}^{n-1}1^{j} = \underbrace{1+1+\ldots+1}_{n \text{ mal}} \neq 0[/mm]
Falls $k < n$ ist, ja. Fuer $n = 2$ geht das also nicht; aber da ist i) auch nicht erfuellt, siehe oben.
> ii) trivial
> [mm](w^2)^{\frac{n}{2}} = w^{\frac{2n}{2}} = w^n =1[/mm] wegen 2)
Genau.
> iv) Annahme: [mm]\underbrace{1+1+\ldots+1}_{\frac{n}{2} \text{ mal}} = 0[/mm]
> dann entsteht ein Wiederspruch zu 4), denn
> [mm]0 \neq \underbrace{1+1+\ldots+1}_{n \text{ mal}} = \underbrace{1+1+\ldots+1}_{\frac{n}{2} \text{ mal}} + \underbrace{1+1+\ldots+1}_{\frac{n}{2} \text{ mal}} = 0+0 = 0[/mm]
Genau.
> Nur der Beweis zu iii) macht mir Probleme, meine Idee war,
> Eigenschaft 3) in zwei Summen aufzuteilen:
> [mm]\forall k=1,\ldots,n-1:[/mm] [mm]0 = \sum_{j=0}^{n-1}w^{jk} = \sum_{j=0}^{\frac{n}{2}-1}w^{jk} + \sum_{j=\frac{n}{2}}^{n-1}w^{jk}[/mm]
Nimm doch mal an, dass $k$ gerade ist. (Du willst ja eigentlich [mm] $(w^2)^{k j} [/mm] = [mm] w^{(2 k) j}$ [/mm] in der Summe haben.)
Dann kannst du auf der rechten Seite [mm] $w^{n/2 \cdot k}$ [/mm] ausklammern. Hast du ne Idee was [mm] $w^{n/2 \cdot k}$ [/mm] ist und wo du dann $1 + 1$ invertierbar nutzen kannst?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Sa 18.04.2009 | | Autor: | fin129 |
> Das sind also eure Bedingungen, damit [mm]w[/mm] eine primitive [mm]n[/mm]-te
> Einheitswurzel ist?
> (Normalerweise fordert man doch einfach, dass [mm]w^n = 1[/mm] ist
> und [mm]w^j \neq 1[/mm] fuer [mm]0 < j < n[/mm]. Oder ist hier die
> Summenbedingung wichtig, etwa weil man eine Diskrete
> Fouriertransformation machen moechte?)
Nun, das Kapitel zu den primitiven n-ten EW diente in der Vorlesung tatsächlich als eine Art Vorbereitung zur DFT / FFT. Soweit ich das verstanden habe, stellen 3) und 4) zusammen sicher, dass die Potenzen von [mm] $w^0 \ldots w^{n-1}$ [/mm] paarweise verschieden sind, was dann später zur Stützstellenberechnung von Polynomen genutz wird.
> Nimm doch mal an, dass [mm]k[/mm] gerade ist. (Du willst ja
> eigentlich [mm](w^2)^{k j} = w^{(2 k) j}[/mm] in der Summe haben.)
>
> Dann kannst du auf der rechten Seite [mm]w^{n/2 \cdot k}[/mm]
> ausklammern. Hast du ne Idee was [mm]w^{n/2 \cdot k}[/mm] ist und wo
> du dann [mm]1 + 1[/mm] invertierbar nutzen kannst?
Ich versuch's nochmal:
z.Z. [mm]
\sum_{j=0}^{\frac{n}{2}-1}(w^2)^{jk} = 0[/mm] [mm]\forall k=1,\ldots,\frac{n}{2}-1
[/mm]
haben:
[mm]\sum_{j=0}^{n-1}w^{j\overline k} = 0[/mm] [mm]\forall \overline k=1,\ldots,n-1[/mm]
gilt also insbesondere auch für gerade [mm] $\overline [/mm] k$:
[mm]\sum_{j=0}^{n-1}w^{j\overline k} = 0[/mm] [mm]\forall \overline k=2,4,\ldots,2(\frac{n}{2}-1)[/mm]
Sei nun [mm] $\overline [/mm] k = 2k$, dann gilt 3) immer noch:
[mm]\sum_{j=0}^{n-1}w^{jk} = 0[/mm] [mm]\forall k=1,\ldots,\frac{n}{2}-1[/mm]
teilen auf:
[mm]\sum_{j=0}^{\frac{n}{2}-1}(w^2)^{jk} + \sum_{j=\frac{n}{2}}^{n-1}(w^2)^{jk} = 0[/mm] [mm]\forall k=1,\ldots,\frac{n}{2}-1[/mm]
Indextransformation hinten:
[mm]\sum_{j=0}^{\frac{n}{2}-1}(w^2)^{jk} + \sum_{j=0}^{\frac{n}{2}-1}w^{(j+\frac{n}{2})2k} = 0[/mm] [mm]\forall k=1,\ldots,\frac{n}{2}-1[/mm]
der hintere summand ist:
[mm]w^{(j+\frac{n}{2})2k} = w^{2jk + nk} = w^{2jk} \cdot w^{nk} = w^{2jk} \cdot (w^n)^k = w^{2jk}[/mm]
also
[mm](1+1)\sum_{j=0}^{\frac{n}{2}-1}(w^2)^{jk} = 0[/mm]
da [mm] $\exists (1+1)^{-1}$
[/mm]
[mm]\sum_{j=0}^{\frac{n}{2}-1}(w^2)^{jk} = 0 \square[/mm]
Bitte ggf. korrigieren, danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Sa 18.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Das sind also eure Bedingungen, damit [mm]w[/mm] eine primitive [mm]n[/mm]-te
> > Einheitswurzel ist?
> > (Normalerweise fordert man doch einfach, dass [mm]w^n = 1[/mm]
> ist
> > und [mm]w^j \neq 1[/mm] fuer [mm]0 < j < n[/mm]. Oder ist hier die
> > Summenbedingung wichtig, etwa weil man eine Diskrete
> > Fouriertransformation machen moechte?)
>
> Nun, das Kapitel zu den primitiven n-ten EW diente in der
> Vorlesung tatsächlich als eine Art Vorbereitung zur DFT /
> FFT.
Ok :)
> Soweit ich das verstanden habe, stellen 3) und 4)
> zusammen sicher, dass die Potenzen von [mm]w^0 \ldots w^{n-1}[/mm]
> paarweise verschieden sind,
Dazu reicht es schon aus zu fordern, dass [mm] $w^n [/mm] = 1$ und [mm] $w^j \neq [/mm] 1$ fuer $0 < j < n$ ist.
> > Nimm doch mal an, dass [mm]k[/mm] gerade ist. (Du willst ja
> > eigentlich [mm](w^2)^{k j} = w^{(2 k) j}[/mm] in der Summe haben.)
> >
> > Dann kannst du auf der rechten Seite [mm]w^{n/2 \cdot k}[/mm]
> > ausklammern. Hast du ne Idee was [mm]w^{n/2 \cdot k}[/mm] ist und wo
> > du dann [mm]1 + 1[/mm] invertierbar nutzen kannst?
>
> Ich versuch's nochmal:
> z.Z. [mm]
\sum_{j=0}^{\frac{n}{2}-1}(w^2)^{jk} = 0[/mm] [mm]\forall k=1,\ldots,\frac{n}{2}-1
[/mm]
>
> haben:
> [mm]\sum_{j=0}^{n-1}w^{j\overline k} = 0[/mm] [mm]\forall \overline k=1,\ldots,n-1[/mm]
>
> gilt also insbesondere auch für gerade [mm]\overline k[/mm]:
>
> [mm]\sum_{j=0}^{n-1}w^{j\overline k} = 0[/mm] [mm]\forall \overline k=2,4,\ldots,2(\frac{n}{2}-1)[/mm]
>
> Sei nun [mm]\overline k = 2k[/mm], dann gilt 3) immer noch:
> [mm]\sum_{j=0}^{n-1}w^{jk} = 0[/mm] [mm]\forall k=1,\ldots,\frac{n}{2}-1[/mm]
Da fehlt eine 2 :) Also sowas wie [mm]\sum_{j=0}^{n-1}w^{2 jk} = 0[/mm] [mm]\forall k=1,\ldots,\frac{n}{2}-1[/mm]
> teilen auf:
> [mm]\sum_{j=0}^{\frac{n}{2}-1}(w^2)^{jk} + \sum_{j=\frac{n}{2}}^{n-1}(w^2)^{jk} = 0[/mm]
> [mm]\forall k=1,\ldots,\frac{n}{2}-1[/mm]
>
> Indextransformation hinten:
>
> [mm]\sum_{j=0}^{\frac{n}{2}-1}(w^2)^{jk} + \sum_{j=0}^{\frac{n}{2}-1}w^{(j+\frac{n}{2})2k} = 0[/mm]
> [mm]\forall k=1,\ldots,\frac{n}{2}-1[/mm]
>
> der hintere summand ist:
> [mm]w^{(j+\frac{n}{2})2k} = w^{2jk + nk} = w^{2jk} \cdot w^{nk} = w^{2jk} \cdot (w^n)^k = w^{2jk}[/mm]
>
> also
> [mm](1+1)\sum_{j=0}^{\frac{n}{2}-1}(w^2)^{jk} = 0[/mm]
>
> da [mm]\exists (1+1)^{-1}[/mm]
>
> [mm]\sum_{j=0}^{\frac{n}{2}-1}(w^2)^{jk} = 0 \square[/mm]
>
> Bitte ggf. korrigieren, danke.
Stimmt ansonsten.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Sa 18.04.2009 | | Autor: | fin129 |
Ups, ja die 2 hab ich übersehen.
Danke
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