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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 Mo 27.10.2014 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Es sei [mm] $\mathbb{P}^n (\mathbb{R}) =(\mathbb{R}^{n+1}\setminus 0)/\mathbb{R}^{*}$ [/mm] der $n-$ dimensionale projektive Raum.
(a) Finde ein Repräsentantensystem
(b) Topologisiere [mm] $P^n (\mathbb{R}) [/mm]
(c) Zeige, dass [mm] $\mathbb{P}^n (\mathbb{R}) [/mm] = [mm] \mathbb{R}^n \cup \mathbb{P}^{n-1}(\mathbb{R}) [/mm] $ |
Zu (a) Das Repräsentantensystem müsste eine Spähre sein.
Zu (b): Meine Idee: Offene Mengen auf der spähre. Mein problem: Wie formalisiere ich das richtig?
Zu (c): Unlogische Aufgabe: Sei etwa $n=2.$ Rechts stehen zwei flache Mengen und links steht die Menge aller Geraden durch den Ursprung im dreidimensionalen Raum. Wie kann die Vereinigung zweier Ebenen (in der xy- Ebene liegend) etwas räumliches ergeben???
Ich wäre für Hilfe sehr dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:53 Di 28.10.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei [mm]\mathbb{P}^n (\mathbb{R}) =(\mathbb{R}^{n+1}\setminus 0)/\mathbb{R}^{*}[/mm]
> der [mm]n-[/mm] dimensionale projektive Raum.
>
> (a) Finde ein Repräsentantensystem
> (b) Topologisiere [mm]$P^n (\mathbb{R})[/mm]
> (c) Zeige, dass [mm]\mathbb{P}^n (\mathbb{R}) = \mathbb{R}^n \cup \mathbb{P}^{n-1}(\mathbb{R})[/mm]
>
> Zu (a) Das Repräsentantensystem müsste eine Spähre sein.
Jeweils zwei Punkte der Sphäre repräsentieren den gleichen Punkt im [mm] $\mathbb{P}^n \IR$.
[/mm]
> Zu (b): Meine Idee: Offene Mengen auf der spähre. Mein
> problem: Wie formalisiere ich das richtig?
Du kannst die Menge aller offenen Mengen von [mm] $\mathbb{P}^n \IR$ [/mm] angeben. Dazu greifst du auf die offenen Mengen auf der Sphäre zurück. Überleg dir erstmal, wie du von einer offenen Menge auf der Sphäre zu einer offenen Menge von [mm] $\mathbb{P}^n \IR$ [/mm] kommst.
> Zu (c): Unlogische Aufgabe: Sei etwa [mm]n=2.[/mm] Rechts stehen
> zwei flache Mengen
Was verstehst du unter "falchen Mengen"?
> und links steht die Menge aller Geraden
> durch den Ursprung im dreidimensionalen Raum.
>
> Wie kann die
> Vereinigung zweier Ebenen (in der xy- Ebene liegend) etwas
> räumliches ergeben???
Es geht hier nicht um die naive mengentheoretische Vereinigung, sondern um eine geeignete Identifizierung. Du kannst eine Teilmenge von [mm] $\mathbb{P}^n \IR$ [/mm] mit dem [mm] $\IR^n$ [/mm] identifizieren, und das Komplement davon mit dem [mm] $\mathbb{P}^{n-1} \IR$. [/mm] Da beide Identifizierungen sehr natürlich sind, schreibt man das häufiger durch so eine Vereinigung.
(Du schreibst ja auch [mm] $\IN \subseteq \IZ$ [/mm] und [mm] $\IZ \subseteq \IQ$ [/mm] und [mm] $\IQ \subseteq \IR$ [/mm] und [mm] $\IR \subseteq \IC$, [/mm] obwohl die Mengen auf der rechten Seite jeweils völlig anders konstruiert werden als die auf der linken Seite, so dass sie rein mengentheoretisch nie Teilmengen sind.)
Um bei der Aufgabe weiterzukommen, überleg dir doch erstmal, wie du zu jedem Element aus [mm] $\mathbb{P}^n \IR$ [/mm] eine eindeutige Normalform hinschreiben kannst. Wenn du zwei Elemente hast (gegeben durch verschiedene Punkte aus [mm] $\IR^{n+1}$), [/mm] wie kannst du überhaupt schauen, ob sie das gleiche Element aus [mm] $\mathbb{P}^n \IR$ [/mm] definieren?
LG Felix
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