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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Phecda |
Hallo
bin an folgender aufgabe:
sei V ein Vektorraum über K. [mm] \phi \in [/mm] End(V) ist ein projektor: [mm] \phi\circ\phi [/mm] = [mm] \phi
[/mm]
zeige:
a) ist [mm] \phi [/mm] ein projektor so gilt:
V = [mm] Kern(\phi) \oplus Bild(\phi)
[/mm]
b) sind U,W K-UVR von V mit V = U [mm] \oplus [/mm] W,
so gibt es genau einen Projektor [mm] \phi \in [/mm] End(V)
mit U = [mm] Kern(\phi) [/mm] und W = [mm] Bild(\phi)
[/mm]
Okay hab nicht so viel anzubieten:
Sei v [mm] \in Kern(\phi) [/mm] => [mm] \phi(v) [/mm] = [mm] kern(\phi) [/mm] => [mm] \phi(v) [/mm] = 0 => [mm] Bild(\phi) [/mm] = 0 , nach dim Formel: dimKern = dimV, dimBild= 0.
Ist v kein element vom Kern, so gilt: und sei w \ in V.
Die Frage ist nun: gibt es ein v [mm] \in [/mm] mit [mm] \phi(v) [/mm] = w?
ja denn:
w = w => [mm] \phi(w)=\phi(w) [/mm] => [mm] \phi(\phi(w)) [/mm] = [mm] \phi(w) [/mm] => [mm] \phi(w) [/mm] = w. Setze v = w. => [mm] Bild(\phi) [/mm] = V. v ist kein Kernelement. => dimBild = dimV
Also entweder ist v ein Kernelement, dann ist das Bild die leere Menge, oder v ist kein Kernelement, dann ist Bild = V.
Jeder Vektor ist darstellbar, als entweder ein kernelement oder ein bildelement. Nun muss ich noch zeigen, dass der gemeinsame schnitt nur das nullelement hat?
wie mach ich das?
also ich weiß nicht ob meine argumentation bis dahin so gut ist. ich bin mir da relativ unsicher...
muss ich nicht zeigen, dass V [mm] \subset Kern(\phi) \oplus Bild(\phi) [/mm] und [mm] Kern(\phi) \oplus Bild(\phi) \subset [/mm] V.
oder hab ich das?
wie geht der 2 te teil. also die eindeutigkeit und existenz?
vielen dank 
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Hallo,
was völlig anderes:
kannst Du vielleicht dort mal posten, wie Ihr die Aufgabe gelöst habt?
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Mo 11.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Phecda,
schön, dass du zu a) so ausführlich dein Vorgehen präsentierst; so kann man gut darauf eingehen!
> Sei v [mm]\in Kern(\phi)[/mm] => [mm]\phi(v)[/mm] = [mm]kern(\phi)[/mm]
[mm] $\phi(v)$ [/mm] ist ein Vektor in $V$, [mm] $\operatorname{Kern}(\phi)$ [/mm] ein Unterraum von $V$. Die beiden werden wohl kaum gleich sein.
> => [mm]\phi(v)[/mm] = 0
Korrekt. Das ist die Bedeutung der Aussage [mm] $v\in\operatorname{Kern}(\phi)$.
[/mm]
=> [mm]Bild(\phi)[/mm] = 0
Falsch. Du hast nur für [mm] $v\in\operatorname{Kern}(\phi)$, [/mm] dass [mm] $\phi(v)=0$, [/mm] nicht für beliebige [mm] $v\in [/mm] V$.
Wäre tatsächlich [mm] $\operatorname{Bild}(\phi)=0$, [/mm] so würde [mm] $\phi$ [/mm] also alle Vektoren aus $V$ auf $0$ abbilden und somit wäre [mm] $\operatorname{Kern}(\phi)=V$. [/mm] Du müsstest also nur noch [mm] $V=V\oplus [/mm] 0$ zeigen, was einfach ist.
> nach dim Formel: dimKern = dimV, dimBild= 0.
Folgerichtig. Auch aus [mm] $\operatorname{dim}\operatorname{kern}(\phi)=\operatorname{dim}V$ [/mm] würde sofort [mm] $\operatorname{Kern}(\phi)=V$ [/mm] folgen (ein Unterraum eines Vektorraumes $V$, der die gleiche Dimension wie $V$ hat, ist schon gleich ganz $V$).
> Ist v kein element vom Kern, so gilt: und sei w \ in V.
> Die Frage ist nun: gibt es ein v [mm]\in[/mm] mit [mm]\phi(v)[/mm] = w?
Das muss man überhaupt nicht zeigen (und es stimmt auch i.A. nicht). [mm] $V=\operatorname{Kern}(\phi)+\operatorname{Bild}(\phi)$ [/mm] bedeutet NICHT, dass alle Vektoren aus $V$ schon in [mm] $\operatorname{Kern}(\phi)$ [/mm] oder [mm] $\operatorname{Bild}(\phi)$ [/mm] liegen müssen, sondern nur, dass sie sich als Summe eines Vektors aus [mm] $\operatorname{Kern}(\phi)$ [/mm] und eines Vektors aus [mm] $\operatorname{Bild}(\phi)$ [/mm] schreiben lassen.
> w = w => [mm]\phi(w)=\phi(w)[/mm] => [mm]\phi(\phi(w))[/mm] = [mm]\phi(w)[/mm]
Die Gleichheiten stimmen, wobei die letzte nicht aus der vorletzten, sondern aus der Projektoreigenschaft von [mm] $\phi$ [/mm] folgt (und die zweite trivial ist).
> => [mm]\phi(w)[/mm] = w.
Das würde nur folgen, wenn [mm] $\phi$ [/mm] injektiv wäre.
> => [mm]Bild(\phi)[/mm] = V
Folgerichtig (wenn man beachtet, dass du gar nicht benutzt hast, dass $w$ nicht im Kern liegen sollte).
> v ist kein Kernelement. => dimBild = dimV
Das hat gar nichts mit $v$ kein Kernelement zu tun. Die Gleichheit der Dimensionen würde unmittelbar aus [mm] $\operatorname{Bild}(\phi)=V$ [/mm] folgen.
> Also entweder ist v ein Kernelement, dann ist das Bild die
> leere Menge, oder v ist kein Kernelement, dann ist Bild =
> V.
[mm] $\phi$ [/mm] hat nur EIN Bild! Und wenn $V$ nicht gerade der Nullvektorraum ist, kann es nicht gleichzeitig der Nullraum und ganz $V$ sein. Im übrigen kann das Bild einer linearen Abbildung nie die leere Menge sein, sondern höchstens der Nullraum.
> Nun muss ich noch zeigen, dass der
> gemeinsame schnitt nur das nullelement hat?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Für [mm] $V=\operatorname{Kern}(\phi)\oplus\operatorname{Bild}(\phi)$ [/mm] sind nämlich zu zeigen:
1. [mm] $V=\operatorname{Kern}(\phi)+\operatorname{Bild}(\phi)$ [/mm] und
2. [mm] $\operatorname{Kern}(\phi)\cap\operatorname{Bild}(\phi)=0$
[/mm]
> muss ich nicht zeigen, dass V [mm]\subset Kern(\phi) \oplus Bild(\phi)[/mm]
> und [mm]Kern(\phi) \oplus Bild(\phi) \subset[/mm] V.
Zum Beweis von 1. musst du in der Tat im Prinzip diese beiden Inklusionen zeigen (besser solltest du erstmal $+$ statt [mm] $\oplus$ [/mm] schreiben, denn noch wissen wir ja nicht, dass die Summe direkt ist). Für die Inklusion [mm] $\operatorname{Kern}(\phi)+\operatorname{Bild}(\phi)\subset [/mm] V$ ist allerdings nicht wirklich etwas zu zeigen (warum?).
Um also bei 1. die Inklusion [mm] $V\subset\operatorname{Kern}(\phi)+\operatorname{Bild}(\phi)$ [/mm] zu zeigen, gehst du erstmal wie üblich vor, wenn man Inklusionen beweisen will: Nimm dir ein beliebiges Element [mm] $v\in [/mm] V$ und zeige, dass es schon in [mm] $\operatorname{Kern}(\phi)+\operatorname{Bild}(\phi)$ [/mm] liegt. Dazu musst du also ein [mm] $u\in\operatorname{Kern}(\phi)$ [/mm] und ein [mm] $w\in\operatorname{Bild}(\phi)$ [/mm] finden mit $v=u+w$.
Hast du dazu eine Idee, wie man mithilfe von $v$ an ein Element [mm] $w\in\operatorname{Bild}(\phi)$ [/mm] gelangen kann? Vielleicht tut es dieses $w$ dann schon. Wie muss dann $u$ aussehen, damit $v=u+w$ gilt? Liegt dieses $u$ tatsächlich in [mm] $\operatorname{Kern}(\phi)$?
[/mm]
Zu 2.: Wieder sind im Prinzip zwei Inklusionen zu zeigen, wobei die Inklusion [mm] $0\subset\operatorname{Kern}(\phi)\cap\operatorname{Bild}(\phi)$ [/mm] klar ist (warum?). Für die also einzig zu zeigende Inklusion [mm] $\operatorname{Kern}(\phi)\cap\operatorname{Bild}(\phi)\subset [/mm] 0$ startest du erneut wie üblich beim Beweis von Inklusionen. Nutze DANN zunächst die Definitionen von [mm] $\operatorname{Kern}(\phi)$ [/mm] und [mm] $\operatorname{Bild}(\phi)$. [/mm] Wie kannst du die beiden Aussagen, die du so erhältst, zusammenfügen? Rechne dann eine Seite der Gleichung, die du erhältst, aus.
Hoffe, das hilft etwas weiter!
Viele Grüße
Tobias
EDIT: Eigentlich sollte die Frage als teilweise beantwortet markiert werden. Kann das mal bitte jemand ändern? Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Phecda |
hallo
boar ich versteh jetzt erst wieviel blödsinn ich da zusammengedacht habe :P
puhh ja die hinweise sind gut... aber bei der 1 weiß ich nachwie vor nicht wie ich das angehen soll
ja kern ist ja teilmenge vom Definitionsbereich also V und Bild ist eine Teilmenge von V ... also sicherlich Kern + Bild ist eine Teilmenge....
bei der rückrichtung: geht es so, wie ich bei der einen gleichung formuliert habe: v = v => ...
wenn ich dann ein w gefunden habe, soll ich einfach zeigen, dass u:= v - w ein element des kerns ist?
danke aber auf jeden fall dass du jeden schritt kommentiert hast.. oft lernt man ja auch dadruch dass man sieht was man falsch macht :P
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Mo 11.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> ja kern ist ja teilmenge vom Definitionsbereich also V und
> Bild ist eine Teilmenge von V ... also sicherlich Kern +
> Bild ist eine Teilmenge....
Genau.
> bei der rückrichtung: geht es so, wie ich bei der einen
> gleichung formuliert habe: v = v => ...
Sehe ich nicht, wie uns diese konkrete Gleichheit weiterhelfen könnte. Die Gleichheit [mm] $\phi(\phi(v))=\phi(v)$ [/mm] dagegen schon.
> wenn ich dann ein w gefunden habe, soll ich einfach
> zeigen, dass u:= v - w ein element des kerns ist?
Ja, genau so meinte ich das! Und wie findet man ein geeignetes [mm] $w\in\operatorname{Bild}(\phi)$? [/mm] Die Elemente von [mm] $\operatorname{Bild}(\phi)$ [/mm] sind ja gerade die [mm] $\phi(v)$ [/mm] für die Vektoren [mm] $v\in [/mm] V$. Jetzt haben wir ein [mm] $v\in [/mm] V$ vorgegeben. Probier doch mal [mm] $w:=\ldots$!
[/mm]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:44 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Phecda |
okay
dsa ist optimal... hab den teil verstanden .. fehlt nur noch der zweite und da definiere ihc phi(v) = v - u
wie knan ich aber zeigen, dass es eindeutig ist?
linearität ist nachrechnen
lg
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> okay
> dsa ist optimal... hab den teil verstanden .. fehlt nur
> noch der zweite und da definiere ihc phi(v) = v - u
> wie knan ich aber zeigen, dass es eindeutig ist?
> linearität ist nachrechnen
> lg
Hallo,
es ist doch richtig, daß Du jetzt den Teil b) meinst?
Deine Definition ist etwas - wie soll ich sagen? - undefiniert...
Du mußt es schon so hinschreiben, daß jemand, der den Vektor v in der Hand hält, ein genaues Rezept dafür hat, was er tun muß, wenn er [mm] \phi(v) [/mm] wissen will.
Ich vermute nun mal ganz stark, daß Du dies meinst:
[mm] \phi(v):=w [/mm] mit v=u+w, wobei [mm] w\in [/mm] W und [mm] u\in [/mm] U.
An dieser Stelle sollte man kurz (laut) über die Wohldefiniertheit nachdenken, und dann natürlich zeigen, daß die Abbildung genau das tut, was sie tun soll.
So, eigentlich interessierst Du Dich aber in Deiner Frage für die Eindeutigkeit.
Wir nehmen also an, daß es eine zweite Abbildung [mm] \phi_2 [/mm] gibt mit den geforderten Eigenschaften.
Mal grob: wir schauen die Funktionswerte von [mm] \phi_2 [/mm] auf einer Basis [mm] (\underbrace{u_1,...,u_k}_{Basis\quad v.\quad U},\underbrace{w_1,...,w_m}_{Basis\quad v.\quad W}) [/mm] an.
Auf der Basis von U hat man keine Auswahl.
Sei nun [mm] \phi_2(w_i):=\summe \lambda_jw_j
[/mm]
Wende darauf [mm] \phi_2 [/mm] an.
Unter Beachtung der geforderten Eigenschaften von [mm] \phi_2 [/mm] erhältst Du nach kleinen Überlegungen, daß [mm] \phi_2(w_i)=w_i, [/mm] und damit hast Du dann die Gleichheit von [mm] \phi [/mm] und [mm] \phi_2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:46 Di 12.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Der Vektorraum $V$ ist nicht als endlich-dimensional vorausgesetzt. Daher müsstest du Angelas Idee mit beliebigen nicht notwendig endlichen Basen formulieren.
Alternativ (und ich glaube kürzer):
Nehmen wir uns, wie Angela das getan hat, ein [mm] $\phi_2$ [/mm] mit den geforderten Eigenschaften. Sei [mm] $v\in [/mm] V$ beliebig. Zu zeigen ist [mm] $\phi_2(v)=\phi(v)$.
[/mm]
Schreibe $v$ wie im Beweis von a) 1. als Summe von einem Vektor aus [mm] $\operatorname{Kern}(\phi_2)$ [/mm] und einem Vektor aus [mm] $\operatorname{Bild}(\phi_2)$: $v=(v-\phi_2(v))+\phi_2(v)$. [/mm] Nutze dann [mm] $\operatorname{Kern}(\phi_2)=U$ [/mm] und [mm] $\operatorname{Bild}(\phi_2)=W$ [/mm] aus und du kannst mithilfe der Definition von [mm] $\phi$ [/mm] ablesen, dass [mm] $\phi(v)=\phi_2(v)$ [/mm] gilt.
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