punktweise Konvergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | zeige: [mm] f_n(x)= \bruch{1}{1+x^n}
[/mm]
Zeige, dass [mm] f_n [/mm] punktweise konvergiert, aber nicht gleichmäßig gegen die Funktion f:(0, [mm] \infty)\to \IR [/mm] |
könnt ihr mir vielleicht weiterhelfen, wie ich das zeigen kann? ich habe mir die Definition der punktweisen konvergenz angeschaut, aber ich komme damit nicht klar. also ich kann nicht zeigen, dass die Funktion gegen f: (0, [mm] \infty) [/mm] konvergieren soll....
Gruß
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:38 Do 04.02.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ist [mm] f_n [/mm] auch nur auf $]0, [mm] \infty [/mm] [$ definiert? Dann schau mal, was für [mm] n\to \infty [/mm] passiert, wenn $0<x<1$ gilt. Und was ist, wenn x=1 ist oder x>1?
In jedem dieser Fälle kannst du schauen, was passiert und erhältst damit deine Grenzfunktion.
Und wenn [mm] f_n [/mm] gleichmäßig gegen f konvergiert, dann müsste f auch stetig sein.
Ist f das?
Hier mal die Veranschaulichung von deiner Funktionenfolge:
[Dateianhang nicht öffentlich].
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Danke Teufel! :)
ja, [mm] f_n [/mm] soll auch gegen (0, [mm] \infty) [/mm] gehen....das problem ist das mit dem punktweise konvergieren und das ich immer probleme habe den beweis aufzuschreiben...
also wenn 0<x<1 gilt, dann geht [mm] f_n [/mm] gegen 1
wenn x=1 ist geht [mm] f_n [/mm] gegen 0,5
und wenn x>1 dann geht [mm] f_n [/mm] gegen 0
aber ich habe dabei meine Probleme das mathematisch fachlich zu formulieren. hört sich blöd an, aber ich bekomme so oft keine punkte, nur weil es zu unmathematisch aufgeschrieben ist :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 Do 04.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das Problem hast du mit der Unterteilung richtig.
Punkt weise heisst in jedem Punkt. wenn du die Punkte in
[0,1) nimmst konvergiert sie in jedem Punkt gegen 1. nimm einfach nen bel. Punkt aus dem Intervall und gib ein [mm] N_0 [/mm] an, so dass für alle [mm] n>N_0(x,\epsilon) [/mm] gilt [mm] |f_n-1|<\epsilon. [/mm] dasselbe mit x>1 und dann mit x=1
Du musst wirklich immer an die Def. von konvergent denken, und was Punktweise heisst, ( dass [mm] N_0 [/mm] von x abhängen kann)
und dann musst du das eben zeigen.
Also was du meist versäumst und IMMER tun solltest, die Def. der benutzten Begriffe wirklich auf deinen Zettel schreiben. erst wenn man das 1000 mal gemacht hat kann mans dann einfach so.
Wenn das dann da steht fällt dir schon ein , dass du ein [mm] N_0 [/mm] suchen musst usw.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Do 04.02.2010 | | Autor: | gfm |
Dann mach doch mal folgendes:
Schreibe die Definition der punktweisen und gleichmäßigen Konvergenz formal auf (also in mathematischer Notation) und versuche dann jedes Zeichen in Worte übersetzend in einen Satz der deutschen Sprache ohne jegliches Formelzeichen eins zu eins zu übersetzen.
Wie sähe das bei Dir aus?
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