punktweise absolut konvergent < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 So 26.03.2006 | | Autor: | neli |
| Aufgabe | Für jede natürliche Zahl n sei [mm] f_n [/mm] : [mm] \IR \to \IR [/mm] definiert durch
[mm] f_{n}(x)=\begin{cases} \bruch{1}{n}, \mbox{für } x \in [n,n+1) \\ 0, \mbox{für } x \notin [n, n+1) \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Funktionenreihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}f_n [/mm] punktweise absolut, aber nicht normal konvergiert. |
Also die Reihe konvergiert nicht normal, weil [mm] \summe_{n=1}^{\infty}||f_n(x)|| [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n} [/mm] divergiert oder?
(normal konvergent ist bei uns so deffiniert, dass die Reihe über [mm] f_n [/mm] dann normal konvergent ist, wenn die Reihe über die supremumsnorm von [mm] f_n [/mm] konvergiert)
und was genau ist jetzt punktweise absolut konvergent?
Ich dachte das wäre, dass die Reihe für jedes x [mm] \in \IR [/mm] betragsmäßig konvergiert
dann wäre aber doch [mm] \summe|f_n| [/mm] = [mm] \summe \bruch{1}{n} [/mm] für x [mm] \in [/mm] [n,n+1) und das divergiert doch
bin verwirrt
hoffe mir kann da jemand weiterhelfen
habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 So 26.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Für jede natürliche Zahl n sei [mm]f_n[/mm] : [mm]\IR \to \IR[/mm] definiert
> durch
> [mm]f_{n}(x)=\begin{cases} \bruch{1}{n}, \mbox{für } x \in [n,n+1) \\ 0, \mbox{für } x \notin [n, n+1) \end{cases}[/mm]
>
>
>
> Zeigen Sie, dass die Funktionenreihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}f_n[/mm] punktweise absolut, aber nicht
> normal konvergiert.
> Also die Reihe konvergiert nicht normal, weil
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}||f_n(x)||[/mm] = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}[/mm]
> divergiert oder?
Genau!
> (normal konvergent ist bei uns so deffiniert, dass die
> Reihe über [mm]f_n[/mm] dann normal konvergent ist, wenn die Reihe
> über die supremumsnorm von [mm]f_n[/mm] konvergiert)
> und was genau ist jetzt punktweise absolut konvergent?
> Ich dachte das wäre, dass die Reihe für jedes x [mm]\in \IR[/mm]
> betragsmäßig konvergiert
Exakt.
> dann wäre aber doch [mm]\summe|f_n|[/mm] = [mm]\summe \bruch{1}{n}[/mm] für
> x [mm]\in[/mm] [n,n+1) und das divergiert doch
Vorsicht! Wenn du $x$ festhaelst, dann gibt es hoechstens ein $n$ mit $x [mm] \in [/mm] [n,n+1)$, womit hoechstens ein Summand der Reihe [mm] $\summe |f_n(x)|$ [/mm] ungleich $0$ ist!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 So 26.03.2006 | | Autor: | neli |
| Aufgabe | | Zeigen Sie außerdem, dass es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 ein [mm] n_0 [/mm] gibt, so dass für alle [mm] m>n_0 [/mm] und alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt: [mm] |\summe_{n=n_0+1}^{m}f_n(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] |
Muss ich das für alle x gleichzeitig zeigen? oder könnte ich da sagen [mm] \forall x\in\IR \exists n_0 \in \IN [/mm] mit [mm] x
dann ist x [mm] \notin [n_0,n_0+1) [/mm] und somit [mm] |\summe_{n=n_0+1}^{m}f_n(x)|=0<\varepsilon
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 So 26.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zeigen Sie außerdem, dass es zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] >0 ein
> [mm]n_0[/mm] gibt, so dass für alle [mm]m>n_0[/mm] und alle x [mm]\in \IR[/mm] gilt:
> [mm]|\summe_{n=n_0+1}^{m}f_n(x)|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> Muss ich das für alle x gleichzeitig zeigen?
Ja. Aber das ist wirklich nicht schwer 
> oder könnte
> ich da sagen [mm]\forall x\in\IR \exists n_0 \in \IN[/mm] mit
> [mm]x
> dann ist x [mm]\notin [n_0,n_0+1)[/mm] und somit
> [mm]|\summe_{n=n_0+1}^{m}f_n(x)|=0<\varepsilon[/mm]
Sieh es mal so: Hast du [mm] $n_0$ [/mm] fixiert, so gilt [mm] $|\summe_{n=n_0+1}^{m}f_n(x)| \le \frac{1}{n_0}$ [/mm] fuer alle $x [mm] \in \IR$. [/mm] Ueberleg dir mal, warum das gilt. (Denk daran, dass fuer jedes feste $x$ hoechstens ein Summand [mm] $\neq [/mm] 0$ ist!) Wenn du dir das ueberlegt hast, bekommst du das auch mit dem [mm] $\varepsilon$ [/mm] fuer alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] hin.
LG Felix
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