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| Aufgabe | Untersuchen Sie auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz:
a) [mm] f_{n}: \IR \to \IR, f_{n}=\wurzel[]{x^{2}+1/n}
[/mm]
b) [mm] f_{n}: [/mm] [0,1] [mm] \to \IR, f_{n}(x)=n*x^{n}(1-x)^{n}
[/mm]
c) [mm] f_{n}: \IR \to \IR, f_{n}(x)=x^{2n}/(1+x^{2n}) [/mm] |
Moin,
Zunächst einmal die Definitionen (D=Definitionsbereich)
punktweise Konv.: [mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D [mm] \exists n_{0} [/mm] s.d. [mm] \forall n>n_{0} |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon
[/mm]
gleichmäßige Konv.: [mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists n_{0}\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D [mm] \forall n>n_{0} |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon
[/mm]
Damit ich eine Abschätzung [mm] |f_{n}(x)-f(x)| [/mm] machen kann muss ich wissen wie f(x) aussieht.
Wie bekomme ich f(x) ?
Lg zahlenfreund
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Fr 01.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie auf punktweise und gleichmäßige
> Konvergenz:
> a) [mm]f_{n}: \IR \to \IR, f_{n}=\wurzel[]{x^{2}+1/n}[/mm]
>
> b) [mm]f_{n}:[/mm] [0,1] [mm]\to \IR, f_{n}(x)=n*x^{n}(1-x)^{n}[/mm]
> c)
> [mm]f_{n}: \IR \to \IR, f_{n}(x)=x^{2n}/(1+x^{2n})[/mm]
>
> Moin,
>
> Zunächst einmal die Definitionen (D=Definitionsbereich)
> punktweise Konv.: [mm]\forall \varepsilon[/mm] >0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] D
> [mm]\exists n_{0}[/mm] s.d. [mm]\forall n>n_{0} |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon[/mm]
>
> gleichmäßige Konv.: [mm]\forall \varepsilon[/mm] >0 [mm]\exists n_{0}\forall[/mm]
> x [mm]\in[/mm] D [mm]\forall n>n_{0} |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon[/mm]
>
> Damit ich eine Abschätzung [mm]|f_{n}(x)-f(x)|[/mm] machen kann
> muss ich wissen wie f(x) aussieht.
> Wie bekomme ich f(x) ?
>
> Lg zahlenfreund
Zu a) für jedes x gilt [mm] x^2+1/n \to x^2 [/mm] (n [mm] \to \infty)
[/mm]
Somit konv. [mm] (f_n) [/mm] auf [mm] \IR [/mm] punktweise gegen f(x)=|x|
FRED
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