pythagoreische Zahlentripel < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Do 10.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallo alle zusammen!
ich hab ein paar problemchen bei folgender aufgabe:
es sei a=p/r und b=q/r (p,q,r element natürl. zahlen, r ist hauptnenner von a und b)
dann folgt aus a+bi element U, dass [mm] p^{2}+ q^{2}= r^{2}, [/mm] d.h. (p,q,r) ist ein pythagoreisches zahlentripel. ich soll nun durch bildung von beispielsweise [mm] (a+bi)^{2} [/mm] oder [mm] (a+bi)^{3} [/mm] aus dem bekannten pythagoreischen tripel mindestens zwei weitere solcher tripel berechnen.
ich hab mir das wie folgt gedacht:
p=3
q=4
r=5 und hab das in a+bi eingesetzt und erhalte dann für
[mm] (a+bi)^{2}=(3/5+4/5i)*(3/5+4/5i)=9/25+24/25+16/25*i^{2}
[/mm]
und da [mm] i^{2}=-1 [/mm] kann ich ja auch schreiben 9/25+24/25-16/25
aber wie gehts jetzt weiter?
brauch ein paar denkanstöße!
vielen dank
liebe grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:48 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Franzie!
Naja, mit $a+ib$ liegt ja auch [mm] $(a+ib)^2 [/mm] = [mm] a^2-b^2 [/mm] + 2iab [mm] \in U:=\{z \in \IC\, : \, |z|=1\}$ [/mm] (ich nehme mal an, dass dies $U$ war; du bist nämlich $U$ leider nicht an).
Daraus folgt:
[mm] $(a^2-b^2)^2 [/mm] + [mm] 4a^2b^2 [/mm] = 1$,
oder -wenn man wieder $a= [mm] \frac{p}{r}$ [/mm] und [mm] $b=\frac{q}{r}$ [/mm] einsetzt und etwas umformt:
[mm] $(p^2-q^2)^2 [/mm] + [mm] (2pq)^2 [/mm] = [mm] (r^2)^2$.
[/mm]
In deinem Beispiel hätte man damit zum Beispiel das pythagoreische Tripel $(7,24,25)$ gefunden...
Für [mm] $(a+ib)^3$ [/mm] geht es ganz ähnlich...
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
