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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Fr 28.02.2020 | | Autor: | wauwau |
| Aufgabe | [math]q_i, i=1,...m[/math] seien unterschiedliche Primzahlen mit [math]\prod_{i=1}^m q_i = 3^n-2[/math] für ein [math] n \in \IN [/math]
Zeige, dass es dann nicht möglich ist, dass [math]\prod_{i=1}^m q_i - \prod_{i=1}^m (q_i - 1) = 3^{n-1} [/math] gilt. |
Bis jetzt kann ich nur zeigen, dass wenn man annimmt, dass [math]m>1[/math], dass dann n ungerade sein muss. Sonst komm ich nicht weiter.
Hat irgendwas mit Eigenschaften von quadratfreien Zahlen zu tun...
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> [math]q_i, i=1,...m[/math] seien unterschiedliche Primzahlen mit
> [math]\prod_{i=1}^m q_i = 3^n-2[/math] für ein [math]n \in \IN[/math]
> Zeige, dass es dann nicht möglich ist, dass [math]\prod_{i=1}^m q_i - \prod_{i=1}^m (q_i - 1) = 3^{n-1}[/math]
> gilt.
> Bis jetzt kann ich nur zeigen, dass wenn man annimmt, dass
> [math]m>1[/math], dass dann n ungerade sein muss. Sonst komm ich nicht
> weiter.
> Hat irgendwas mit Eigenschaften von quadratfreien Zahlen
> zu tun...
Ich habe herausgefunden, dass m gerade sein muss (wobei ich nicht weiß, ob das von Bedeutung ist), aber auch noch ein bisschen mehr.
Nehmen wir an, dass beide Gleichungen erfüllt sein können und was dann zum Widerspruch geführt werden müsste.
Aus [math]\prod_{i=1}^m q_i = 3^n-2[/math] für ein [math]n \in \IN[/math] folgt:
- n=0 und n=1 scheiden aus, wie man durch Einsetzen rechts sieht. Damit sind [mm] 3^n [/mm] und [mm] 3^{n-1} [/mm] auf jeden Fall Vielfache von 3.
- keines der [mm] q_i [/mm] ist 2, da sonst die linke Seite gerade wäre, die rechte ist aber ungerade.
- keines der [mm] q_i [/mm] ist 3, sonst stünde links ein Vielfaches von 3, was aber rechts nicht der Fall ist.
[mm] \underline{Wir\ betrachten\ nun\ alles\ mod 3!}
[/mm]
Die rechte Seite der Gleichung ist [mm] 3^n-2=3^n-3+1=1 [/mm] mod 3.
Da die [mm] q_i [/mm] prim und [mm] \ne [/mm] 3 sind, sind sie somit immer 1 mod 3 oder 2 mod 3. Fassen wir zuerst diejenigen mit 1 mod3 zusammen und multiplizieren wir diese, so gibt das den Wert 1 mod3. Multiplizieren wir nun mit einem [mm] q_i, [/mm] das den Wert 2 mod 3 hat, so ergibt sich als Ergebnis 2 mod 3. Die rechte Seite ist aber 1 mod3. Deshalb brauchen wir noch ein weiteres [mm] q_i [/mm] mit 2 mod 3, da 2*2=4=1 mod 3 gibt.
Fazit: Zu jedem [mm] q_k [/mm] mit 2 mod3 muss es einen Partner mit ebenfalls 2 mod 3 geben.
Nun schauen wir uns die zweite Gleichung mod 3 an. Die rechte Seite gibt 0 mod 3. Nach oben Gesagtem gibt links der erste Term [mm] \prod_{i=1}^m q_i [/mm] den Wert 1 mod3. Dann muss der Term [math] \prod_{i=1}^m (q_i - 1) [/math] ebenfalls den Wert 1 mod 3 geben. Das bedeutet aber, dass keines der [mm] q_i [/mm] den Wert 1 mod 3 haben kann, denn dann hätte [mm] (q_i-1) [/mm] den Wert 0 mod3, und das ganze zweite Produkt wäre 0 mod3 statt 1 mod 3.
Fazit: Es können nur [mm] q_k [/mm] mit 2 mod 3 vorkommen. Jedes davon muss aber, wie oben gezeigt, einen Partner haben. Somit muss m gerade sein.
Nun zu einem ganz anderen Zusammenhang:
Was bedeutet der Term [math] \prod_{i=1}^m (q_i - 1) [/math]?
Er erinnert an die der Eulersche [mm] \varphi [/mm] -Funktion. [mm] \varphi(N) [/mm] gibt an, wie viele der Zahlen 1, 2, 3, ...,N zu N teilerfremd sind. Das berechnet sich zu
[math]\varphi(N)=N*\prod_{i=1}^k (1-\bruch{1}{q_i}) [/math], wobei die [mm] q_i [/mm] alle in N vorkommenden Primfaktoren sind, aber jeweils nur einfach gezählt.
Für N=[math] \prod_{i=1}^m q_i [/math] gilt, dass jedes [mm] q_i [/mm] ja nur einmal vorkommt, so dass [math]N*\prod_{i=1}^m (1-\bruch{1}{q_i}) [/math] alle zu N teilerfreien Zahlen von 1 bis N zählt.
Nun ist aber [math]N*\prod_{i=1}^m (1-\bruch{1}{q_i}) [/math]=[math]\prod_{i=1}^m q_i*\prod_{i=1}^m (1-\bruch{1}{q_i}) [/math][mm] =\prod_{i=1}^m q_i(1-\bruch{1}{q_i})=\prod_{i=1}^m (q_i-1) [/mm] die Anzahl der zu N teilerfremden Zahlen und damit [math]N - \prod_{i=1}^m (q_i - 1) = \prod_{i=1}^m q_i - \prod_{i=1}^m (q_i - 1) = 3^{n-1}[/math] die Anzahl der Zahlen von 1 bis N, die mit N mindestens einen gemeinsamen Teiler haben.
Vielleicht hilft dir das mit den obigen Betrachtungen zusammen weiter.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:56 So 01.03.2020 | | Autor: | wauwau |
Danke dir
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:14 So 01.03.2020 | | Autor: | wauwau |
| Aufgabe | | Wie könnte ich weiterkommen? |
Hab nun bereits gezeigt, dass die [math]q_i \equiv -1(6)[/math] sein müssen, und dass [math]m \ge 16[/math] und [math]n \ge 2^{13}+1[/math]
falls es ein Lösung gäbe....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mi 01.04.2020 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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