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| Aufgabe | | Geben Sie eine quadratische Form [mm] q:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} [/mm] an, sodass die Varietät V(q) eine Parabel ist, und zwar soll dabei eine der Hauptachsen die Ursprungsgerade durch (1,1) sein. |
Hallo,
bisher habe ich immer nur die Hauptachsen von quadratischen Formen bestimmt, also das umgekehrte Verfahren. Eine Parabel (auf Hauptachse gebracht) hätte die Form:
[mm] q((X,Y))=aX^2-Y^2, [/mm] also wäre die Diagonalmatrix D, mit [mm] U^{t}AU=D=$\begin{pmatrix}a & 0\\
0 & -1\end{pmatrix}$.
[/mm]
Wobei: A symmetrische Matrix, U orthogonale Matrix.
Jetzt muss das ganze nur noch irgendwie die geforderte Hauptachse haben. Eine solche Achse wäre gegeben durch f(t)=t, also (t,t). Dann müsste (t,t) ein Eigenvektor zum EW 1 sein.
Ist das bisher richtig? Und wie gehe ich weiter vor?
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> Geben Sie eine quadratische Form [mm]q:\mathbb{R}^2\rigtharrow \mathbb{R}[/mm]
> an, sodass die Varietät V(q) eine Parabel ist, und zwar
> soll dabei eine der Hauptachsen die Ursprungsgerade durch
> (1,1) sein.
> Hallo,
>
> bisher habe ich immer nur die Hauptachsen von quadratischen
> Formen bestimmt, also das umgekehrte Verfahren. Eine
> Parabel (auf Hauptachse gebracht) hätte die Form:
> [mm]q((X,Y))=aX^2-Y^2,[/mm] also wäre die Diagonalmatrix D, mit
> [mm]U^{t}AU=D=$\begin{pmatrix}a & 0\\
0 & -1\end{pmatrix}$.[/mm]
Hallo,
ich weiß ja nicht so recht... Mir wird ganz schwindelig...
Ich geb' ja offen zu, daß ich null Ahnung habe davon, was mit "Varietät V(q)" gemeint ist.
Aber [mm] q((X,Y))=aX^2-Y^2 [/mm] ist eine Parabel?
Bitte sagt, daß das nicht wahr ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:31 Di 14.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Geben Sie eine quadratische Form [mm]q:\mathbb{R}^2\rigtharrow \mathbb{R}[/mm]
> > an, sodass die Varietät V(q) eine Parabel ist, und zwar
> > soll dabei eine der Hauptachsen die Ursprungsgerade durch
> > (1,1) sein.
>
> ich weiß ja nicht so recht... Mir wird ganz
> schwindelig...
> Ich geb' ja offen zu, daß ich null Ahnung habe davon, was
> mit "Varietät V(q)" gemeint ist.
Damit ist die Nullstellenmenge der Form $q$ gemeint, also $V(q) = [mm] \{ v \in \IR^2 \mid q(v) = 0 \}$.
[/mm]
> Aber [mm]q((X,Y))=aX^2-Y^2[/mm] ist eine Parabel?
Ja, die Punkte der Parabel sind die $(x, y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] mit $a [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] = 0$ (also gerade $V(a [mm] X^2 [/mm] - [mm] Y^2)$).
[/mm]
LG Felix
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> Damit ist die Nullstellenmenge der Form [mm]q[/mm] gemeint, also
> [mm]V(q) = \{ v \in \IR^2 \mid q(v) = 0 \}[/mm].
Ah, also so, wie ich es geahnt hatte.
>
> > Aber [mm]q((X,Y))=aX^2-Y^2[/mm] ist eine Parabel?
>
> Ja, die Punkte der Parabel sind die [mm](x, y) \in \IR^2[/mm] mit [mm]a x^2 - y^2 = 0[/mm]
Aber [mm] y^2=ax^2 [/mm] gibt doch keine Parabel?
Oder bin ich jetzt völlig falsch gespurt?
Gruß v. Angela
> (also gerade [mm]V(a X^2 - Y^2)[/mm]).
>
> LG Felix
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:04 Di 14.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Angela!
> > > Aber [mm]q((X,Y))=aX^2-Y^2[/mm] ist eine Parabel?
> >
> > Ja, die Punkte der Parabel sind die [mm](x, y) \in \IR^2[/mm] mit [mm]a x^2 - y^2 = 0[/mm]
>
> Aber [mm]y^2=ax^2[/mm] gibt doch keine Parabel?
Oh, jetzt sehe ich was du meintest. Nein, das ist keine Parabel, sondern die Vereinigung zweier Graden, eine Gerade bzw. ein Punkt (je nachdem ob $a > 0$, $a = 0$ oder $a < 0$).
Gemeint war wohl $a [mm] X^2 [/mm] - Y$...
LG Felix
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> Nein, das ist keine
> Parabel,
Du hast mir den Tag gerettet.
Nun solltest Du mal ins Bett gehen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:01 Di 14.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Angela,
> Nun solltest Du mal ins Bett gehen.
bin dabei 
LG Felix
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> Geben Sie eine quadratische Form [mm]q:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}[/mm]
> an, sodass die Varietät V(q) eine Parabel ist, und zwar
> soll dabei eine der Hauptachsen die Ursprungsgerade durch
> (1,1) sein.
> Hallo,
>
> bisher habe ich immer nur die Hauptachsen von quadratischen
> Formen bestimmt, also das umgekehrte Verfahren. Eine
> Parabel (auf Hauptachse gebracht) hätte die Form:
> [mm]q((X,Y))=aX^2-Y^2,[/mm] also wäre die Diagonalmatrix D, mit
> [mm][mm] U^{t}AU=D=$\begin{pmatrix}a & 0\\
0 & -1\end{pmatrix}$.[/mm
[/mm]
Hallo,
inzwischen ist ja geklärt, daß es keine Parabel ist, was Du da oben am Wickel hast.
Folglich mußt Du über Deine Matrix nochmal nachdenken.
Danach machst du dann eine Basistransformation.
Der eine Basisvektor ist in Richtung (1,1) und den anderen nimmst du senkrecht dazu. So sollte das doch klappen.
Gruß v. Angela
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Hallo,
also erstmal muss ich mich für die Verwirrung um das [mm] Y^2 [/mm] entschuldigen.
Diese Gleichung würde zwei sich schneidende Geraden liefern.
Auf jeden Fall wäre
[mm] aX^2-Y=(x,y)\begin{pmatrix}a & 0\\
0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\
y\end{pmatrix}+(0,-1)\begin{pmatrix}x\\
y\end{pmatrix}.
[/mm]
Die Eigenvektoren sind (1,0), (0,1). Also wäre meine orthogonale Matrix U ja gerade die Einheitsmatrix.
Jetzt sind die Hauptachsen doch gerade die Spalten von U, also müsste eine Spalte sein [mm] \frac{\sqrt{2}}{2}(1,1).
[/mm]
und die andere hat bei der ersten Koordinate ein Minus davor.
Ich weiß nich, ob ich dass richtig verstehe, denn wenn ich jetzt [mm] U^{t}AU [/mm] bilde, ergibt sich die Nullmatrix, also kein quadratischer Term, keine Parabel.
Was soll ich da wie transformieren. Die Matrix A?
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Hallo T_sleeper,
> Hallo,
>
> also erstmal muss ich mich für die Verwirrung um das [mm]Y^2[/mm]
> entschuldigen.
> Diese Gleichung würde zwei sich schneidende Geraden
> liefern.
>
> Auf jeden Fall wäre
> [mm]aX^2-Y=(x,y)\begin{pmatrix}a & 0\\
0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\
y\end{pmatrix}+(0,-1)\begin{pmatrix}x\\
y\end{pmatrix}.[/mm]
>
> Die Eigenvektoren sind (1,0), (0,1). Also wäre meine
> orthogonale Matrix U ja gerade die Einheitsmatrix.
> Jetzt sind die Hauptachsen doch gerade die Spalten von U,
> also müsste eine Spalte sein [mm]\frac{\sqrt{2}}{2}(1,1).[/mm]
> und die andere hat bei der ersten Koordinate ein Minus
> davor.
>
> Ich weiß nich, ob ich dass richtig verstehe, denn wenn ich
> jetzt [mm]U^{t}AU[/mm] bilde, ergibt sich die Nullmatrix, also kein
> quadratischer Term, keine Parabel.
>
> Was soll ich da wie transformieren. Die Matrix A?
>
Betrachte doch die allgemeine Matrix
einer quadratischen Form in 2 Variablen:
[mm]\pmat{a & b \\ b & c}[/mm]
(Gleichung lautet dann entsprechend: [mm]a*x^{2}+2b*x*y+c*y^{2}[/mm])
Diese Matrix muß einen Eigenwert [mm]\lambda=0[/mm] besitzen.
Daraus ergibt sich auch der andere Eigenwert.
Nun kannst Du Dir die Eigenvektoren berechnen.
Diese kannst Du dann so einrichten,
daß ein Eigenvektor die Richtung [mm]\pmat{1 \\ 1}[/mm] besitzt.
Gruss
MathePower
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> Betrachte doch die allgemeine Matrix
> einer quadratischen Form in 2 Variablen:
>
> [mm]\pmat{a & b \\ b & c}[/mm]
>
> (Gleichung lautet dann entsprechend:
> [mm]a*x^{2}+2b*x*y+c*y^{2}[/mm])
>
> Diese Matrix muß einen Eigenwert [mm]\lambda=0[/mm] besitzen.
Wieso das denn?
Ich weiß, das entweder dann a=0 oder c=0 ist, sonst habe ich keine parabel mehr, aber dann hätte ich im charakteristischen Polynom doch noch mein b drin.
>
> Daraus ergibt sich auch der andere Eigenwert.
>
> Nun kannst Du Dir die Eigenvektoren berechnen.
>
> Diese kannst Du dann so einrichten,
> daß ein Eigenvektor die Richtung [mm]\pmat{1 \\ 1}[/mm] besitzt.
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo T_sleeper,
> > Betrachte doch die allgemeine Matrix
> > einer quadratischen Form in 2 Variablen:
> >
> > [mm]\pmat{a & b \\ b & c}[/mm]
> >
> > (Gleichung lautet dann entsprechend:
> > [mm]a*x^{2}+2b*x*y+c*y^{2}[/mm])
> >
> > Diese Matrix muß einen Eigenwert [mm]\lambda=0[/mm] besitzen.
>
> Wieso das denn?
> Ich weiß, das entweder dann a=0 oder c=0 ist, sonst habe
> ich keine parabel mehr, aber dann hätte ich im
> charakteristischen Polynom doch noch mein b drin.
Nun, die Parabel befindet sich laut Aufgabenstellung nicht
im "normalen" Koordinatensystem, da
[mm]\pmat{1 \\ 1} \not= \pmat{1 \\ 0}[/mm]
bzw.
[mm]\pmat{1 \\ 1} \not= \pmat{0 \\ 1}[/mm]
ist.
> >
> > Daraus ergibt sich auch der andere Eigenwert.
> >
> > Nun kannst Du Dir die Eigenvektoren berechnen.
> >
> > Diese kannst Du dann so einrichten,
> > daß ein Eigenvektor die Richtung [mm]\pmat{1 \\ 1}[/mm] besitzt.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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> Hallo T_sleeper,
>
> > > Betrachte doch die allgemeine Matrix
> > > einer quadratischen Form in 2 Variablen:
> > >
> > > [mm]\pmat{a & b \\ b & c}[/mm]
> > >
> > > (Gleichung lautet dann entsprechend:
> > > [mm]a*x^{2}+2b*x*y+c*y^{2}[/mm])
> > >
> > > Diese Matrix muß einen Eigenwert [mm]\lambda=0[/mm] besitzen.
> >
> > Wieso das denn?
> > Ich weiß, das entweder dann a=0 oder c=0 ist, sonst
> habe
> > ich keine parabel mehr, aber dann hätte ich im
> > charakteristischen Polynom doch noch mein b drin.
>
>
> Nun, die Parabel befindet sich laut Aufgabenstellung nicht
> im "normalen" Koordinatensystem, da
>
> [mm]\pmat{1 \\ 1} \not= \pmat{1 \\ 0}[/mm]
>
> bzw.
>
> [mm]\pmat{1 \\ 1} \not= \pmat{0 \\ 1}[/mm]
>
> ist.
>
Dann komme ich mit meinen Überlegungen wieder nur zu b=0 und erhalte damit niemals Eigenvektoren, bei denen x=y ist für Eigenvektoren der Form (x,y).
>
> > >
> > > Daraus ergibt sich auch der andere Eigenwert.
> > >
> > > Nun kannst Du Dir die Eigenvektoren berechnen.
> > >
> > > Diese kannst Du dann so einrichten,
> > > daß ein Eigenvektor die Richtung [mm]\pmat{1 \\ 1}[/mm] besitzt.
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo T_sleeper,
> > > > Betrachte doch die allgemeine Matrix
> > > > einer quadratischen Form in 2 Variablen:
> > > >
> > > > [mm]\pmat{a & b \\ b & c}[/mm]
> > > >
> > > > (Gleichung lautet dann entsprechend:
> > > > [mm]a*x^{2}+2b*x*y+c*y^{2}[/mm])
> > > >
> > > > Diese Matrix muß einen Eigenwert [mm]\lambda=0[/mm] besitzen.
> > >
> > > Wieso das denn?
> > > Ich weiß, das entweder dann a=0 oder c=0 ist, sonst
> > habe
> > > ich keine parabel mehr, aber dann hätte ich im
> > > charakteristischen Polynom doch noch mein b drin.
> >
> >
> > Nun, die Parabel befindet sich laut Aufgabenstellung nicht
> > im "normalen" Koordinatensystem, da
> >
> > [mm]\pmat{1 \\ 1} \not= \pmat{1 \\ 0}[/mm]
> >
> > bzw.
> >
> > [mm]\pmat{1 \\ 1} \not= \pmat{0 \\ 1}[/mm]
> >
> > ist.
> >
>
> Dann komme ich mit meinen Überlegungen wieder nur zu b=0
> und erhalte damit niemals Eigenvektoren, bei denen x=y ist
> für Eigenvektoren der Form (x,y).
>
Dann poste doch einfach mal Deine bisherigen Rechenschritte.
Gruss
MathePower
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Naja viel gemacht habe ich doch bisher noch nicht. Das einzige was ich eben weiß ist, dass a oder c=0 sein müssen.
Und das ich nun irgendwie eine Matrix brauche, für die (1,1) bzw. ein Vielfaches davon Eigenwert ist.
Und jetzt soll auf einmal 0 ein Eigenwert sein.
Setze ich mal c=0, dann betrachte ich die Matrix [mm] \begin{pmatrix}a & b\\
b & 0\end{pmatrix}.
[/mm]
Was genau soll ich dann weiter machen?
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Hallo T_sleeper,
> Naja viel gemacht habe ich doch bisher noch nicht. Das
> einzige was ich eben weiß ist, dass a oder c=0 sein
> müssen.
Dies dann aber nachdem Du die Transformationen ausgeführt hast.
> Und das ich nun irgendwie eine Matrix brauche, für die
> (1,1) bzw. ein Vielfaches davon Eigenwert ist.
> Und jetzt soll auf einmal 0 ein Eigenwert sein.
> Setze ich mal c=0, dann betrachte ich die Matrix
> [mm]\begin{pmatrix}a & b\\
b & 0\end{pmatrix}.[/mm]
Dies entspricht dann der quadratischen Gleichung
[mm]ax^{2}+2b*x*y[/mm]
>
> Was genau soll ich dann weiter machen?
Bezogen auf das kartesische Koordinatensystem,
hat die Parabel die Gleichung
[mm]a*x^{2}+2b*x*y+c*y^{2}+d*y+e=0[/mm]
Nach der Transformation soll dies so aussehen:
[mm]\alpha*u^{2}+\beta*v^{2}-v=0[/mm]
Hier sind [mm]\alpha, \ \beta[/mm] die Eigenwerte der Matrix
[mm]\pmat{a & b \\ b & c}[/mm]
Da wir eine Parabel haben wollen,
muß ein Eigenwert 0 (hier: [mm]\beta=0[/mm]) sein.
Gruß
MathePower
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