quadratische Form,Bilinearform < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Sa 24.09.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | | Wie forme ich eine quadratische Form in eine Bilinearform um und umgekehrt? |
Hallo an alle,
ich muss eine quadratische Form in eine Bilinearform umformen können und anders herum, habe dies allerdings noch nie gemacht bzw ein Beispiel gesehen (finde keins im Internet :-( ).
Ich weiß, dass man die sogenannte Polarisationsformel dazu benötigt:
B(x,y)=0.5(q(x+y)-q(x)-q(y)).
Ich kann auch z.B. eine Bilinearform in eine Matrix umformen, ich weiß einfach nur nicht, wie diese quadratische Form aussehen soll, die ich umzuformen habe, da ich leider nichtmal eine Aufgabenstellung zu diesem Thema habe.
Nun meine Bitte:
Könnte mir jemand ein Beispiel geben, wie solch eine quadratische Form aussieht und erklären, was zu tun ist, sodass ich es anhand der gegebenen quadratischen Form selbst versuchen kann umzuformen?
Vielen Dank im Voraus 
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Hallo paula_88,
> Wie forme ich eine quadratische Form in eine Bilinearform
> um und umgekehrt?
> Hallo an alle,
> ich muss eine quadratische Form in eine Bilinearform
> umformen können und anders herum, habe dies allerdings
> noch nie gemacht bzw ein Beispiel gesehen (finde keins im
> Internet :-( ).
>
> Ich weiß, dass man die sogenannte Polarisationsformel dazu
> benötigt:
> B(x,y)=0.5(q(x+y)-q(x)-q(y)).
>
> Ich kann auch z.B. eine Bilinearform in eine Matrix
> umformen, ich weiß einfach nur nicht, wie diese
> quadratische Form aussehen soll, die ich umzuformen habe,
> da ich leider nichtmal eine Aufgabenstellung zu diesem
> Thema habe.
>
> Nun meine Bitte:
> Könnte mir jemand ein Beispiel geben, wie solch eine
> quadratische Form aussieht und erklären, was zu tun ist,
> sodass ich es anhand der gegebenen quadratischen Form
> selbst versuchen kann umzuformen?
Eine quadratische Form ist ein homogenes Polynom vom Grad 2 in n Variablen.
Für n=1 lautet die quadratische Form [mm]q\left(x\right)=x^{2}[/mm]
n=2: [mm]q\left(x\right)=a*x_{1}^{2}+b*x_{1}*x_{2}+c*x_{2}^2, \ x= \pmat{x_{1} \\ x_{2}}[/mm]
n=3: [mm]q\left(x\right)=a*x_{1}^{2}+b*x_{1}*x_{2}+c*x_{1}*x_{3}+d*x_{2}^{2}+e*x_{2}*x_{3}+f*x_{3}^{2}, \ x= \pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}[/mm]
Im Fall n=1 ist
[mm]q\left(x+y\right)=\left(x+y\right)^{2}, \ q\left(x\right)=x^{2}, \ q\left(y\right)=y^{2}[/mm]
Demnach [mm]B\left(x,y\right)=0.5(q(x+y)-q(x)-q(y))=0.5*\left( \ \left(x+y\right)^{2}-x^{2}-y^{2} \ \right)= x*y[/mm]
>
> Vielen Dank im Voraus
Gruss
MathePower
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