quadratische Matrix ( symmetri < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
Es sei A=(aij) eine quadratische Matrix in M(n;K). Dann heißt A symmetrisch (bzw. schiefsymmetrisch), falls aij=aij ( bzw. aij=-aij) für alle [mm] 1\le [/mm] i,j [mm] \le [/mm] n gilt. Zeigen Sie
1) M(n;K)=S(n;K) [mm] \oplus [/mm] A(n;K) falls Char(K) [mm] \not= [/mm] 2
2) dim M (m [mm] \times [/mm] n; K) = nm, dim s(n;K)= n(n+1)/2 und dim A(n;K)= n(n-1)/2 falls Char(K) [mm] \not=2
[/mm]
Ich wäre super dankbar wenn mir jemand bei diesen beiden Aufgabenteilen helfen könnte, da ich da irgendwie nicht mit weiterkomme
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Gruß!
Also zunächst mal ist Deine Definition verkehrt... eine Matrix $A = [mm] (a_{ij})_{i,j}$ [/mm] heißt symmetrisch, falls [mm] $a_{ij} [/mm] = [mm] a_{ji}$ [/mm] für $i,j [mm] \in \{ 1, \ldots , n\}$ [/mm] gilt. Und schiefsymmetrisch, wenn [mm] $a_{ij} [/mm] = - [mm] a_{ji}$.
[/mm]
Setzen wir also voraus, dass der Körper nicht Charakteristik 2 hat - das bedeutet, dass in $K$ gilt: $2 [mm] \not= [/mm] 0$.
Dann überlege Dir als erstes: jede schiefsymmetrische Matrix hat auf der Diagonalen nur 0en stehen.
Danach geh an die Aufgaben ran:
1) Als erstes überzeuge Dich davon, dass die Summe direkt ist - das ist einfach.
Etwas schwieriger ist es, jede Matrix als Summe einer symmetrischen und einer schiefsymmetrischen darzustellen.
Auf der Diagonalen ist der Fall klar, da bei der schiefsymmetrischen Matrix nicht viel Auswahl ist.  Nimm Dir einfach ein Element außerhalb der Diagonalen und stelle das entsprechende Gleichungssystem auf, das die Einträge der symmetrischen bzw. schiefsymmetrischen Matrix erfüllen müssen... dann kommst schnell drauf, wie das aussehen muß.
2) Das erste ist trivial - eine Basis springt einen geradezu an.
Für das zweite: überleg Dir, wieviele Einträge man braucht, um eine symmetrische Matrix eindeutig festzulegen und stelle darüber eine Basis zusammen - kleiner Tipp: der "kleine Gauß" (die Summenformel) könnte hilfreich sein!
Das andere geht analog (nur halt ohne die Diagonalelemente, s. oben).
Also los, frisch ans Werk! Viel Erfolg!
Lars
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