quadratische Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:52 So 18.06.2006 | | Autor: | still86 |
| Aufgabe | (a) Es sei K ein Körper. Zeigen Sie, dass die Menge [mm] K^{n×n} [/mm] der quadratischen Matrizen mit Einträgen aus K bzgl. der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation einen Ring bildet.
(b) Ist dieser Ring kommutativ ? Hat er ein Einselement ? Ist er ein Körper ? |
Hallo, vielleicht könnt ihr mir bei der Aufgabe helfen. Wie kann ich zeigen das die Matrizenmultiplikation bei quadratischen Matrizen abelsch ist?
Vielen Dank für eure Hilfe. Thomas
|
|
| |
|
Hallo Thomas,
also du sollst zunächst einmal zeigen, daß [mm] $(K^{n\times n},+,\cdot)$ [/mm] ein Ring ist. Hast du dieses denn bereits getan?
Bei Teilaufgabe b) könnte man sich überlegen, ob ein Gegenbeispiel existiert um eine Aussage zu widerlagen. Deine Fragestellung zielt nämlich genau darauf ab.
Gruß
Markus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:35 Mo 19.06.2006 | | Autor: | still86 |
Nein, leider noch nicht... auch hier fehlt mir der Ansatz, wie ich die Axiome bei [mm] (K^{nxn},+,*) [/mm] zeigen soll. Könnt ihr mir da helfen? Vor allem hab ich Probleme beim Distributivgesetzt.
Könnte man z.B. [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] als Gegenbeispiel nehmen? Da hier AB [mm] \not= [/mm] BA ist.
|
|
|
| |
|
Also es ist doch zunächst zu zeigen, daß [mm] $(K^{ n\times n}, [/mm] +)$ eine abelsche Gruppe ist. Versuche es mal und poste hier deine Ergebnisse. Desweiteren mußt du für einen Ring zeigen, daß er bzgl. der Multiplikation assoziativ ist und es müssen die Distributivgesetze gelten, also $A(B+C)= AB+AC$ und $(A+B)C = AC+BC$.
Nutze dazu einfach die Schreibweise als Summe für die Multiplikation bzw. Addition von zwei Matrizen, also für die Multiplikation [mm] $(A\cdot B)_{ij} [/mm] = [mm] \sum_{l=1}^n a_{il}b_{lj}$ [/mm] und für die Addition [mm] $(A+B)_{ij} [/mm] = [mm] a_{ij}+b_{ij}$ [/mm] mit $i,j = [mm] 1,\ldots,n$.
[/mm]
Um zu zeigen, daß der Ring nicht kommutativ ist, also bzgl. [mm] $"\cdot"$ [/mm] die Matrizen im allgemeinen nicht kommutieren, reicht genau dein Gegenbeispiel.
Gruß
Markus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:42 Mo 19.06.2006 | | Autor: | mushroom |
Kann nicht erkennen, ob es die Aufgabenstellung erfordert, aber betrachte eventuell noch den Spezialfall für $n=1$. Dann bist du auf der sicheren Seite.
Gruß
Markus
|
|
|
|
