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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:13 Mi 13.05.2009 | | Autor: | Padfoot |
| Aufgabe | Wir bezeichnen eine Funktion g: [mm] \IR^n \to \IR [/mm] als quasi-konkav, falls für alle [mm] x_{1},x_{2} \in \IR^n [/mm] und alle t [mm] \in [/mm] [0,1] gilt
[mm] g(tx_{1}+(1-t)x_{2})\ge [/mm] min [mm] {g(x_{1}),g(x_{2})}.
[/mm]
Eine Menge X heißt konvex, falls für alle [mm] x_{1},x_{2} \in [/mm] X und alle t [mm] \in [/mm] [0,1] gilt, dass
[mm] tx_{1}+(1-t)x_{2} \in [/mm] X.
Zeigen Sie: Ist g quasi-konkav, so ist
[mm] S_{g}(y):={x \in \IR|g(x) \ge y}
[/mm]
eine konvexe Menge für alle y [mm] \in \IR. [/mm] |
Hallo,
ich soll diese Aufgabe für die Uni lösen.
Die Probleme fangen schon gleich an, dass die Fragestellung unklar ist. Es sind zwar Definitionen gegeben, aber ich weiß nicht, was ich mit denen nun genau machen soll.
Ich habe versucht die Definition der quasi-konkaven Funktion auf die S-Menge anzuwenden, aber irgendwie bringt mich das auch nicht weiter.
Es wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte.
Liebe Grüße
Padfoot
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:33 Mi 13.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Seien [mm] x_1,x_2 \in S_g(y) [/mm] und t [mm] \in [/mm] [0,1].
Setze $z = [mm] tx_{1}+(1-t)x_{2}$ [/mm]
Es ist zu zeigen: z [mm] \in S_g(y), [/mm] also $g(z) [mm] \ge [/mm] y$
Dazu können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass [mm] $g(x_1) \le g(x_2) [/mm] $ ist.
Da g quasi-konkav ist, folgt
$g(z) [mm] \ge [/mm] $ min{ [mm] g(x_1), g(x_2) [/mm] } [mm] $=g(x_1) \ge [/mm] y$
fertig
FRED
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