radioaktives Zerfallsgesetz < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Do 20.09.2007 | | Autor: | Sebissl |
| Aufgabe | | Herleitung des Zerfallsgesetz aus gegebenen Versuchsergebnissen |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Abend.
Ich habe gerade vor mir meinen Eintrag über die Herleitung des radioaktiven Zerfallsgestzes, und verstehe gerade nach 2 stündigem Brüten überhaupt nichts mehr.
Im Unterrricht hat mein Physiklehrer Stromstöße beim Zerfallen von Thoriumsalzen gemessen. Dass nun die Änderungsrate dI nach dt direkt proportional zum Gesamtstrom [mm] I_0 [/mm] ist, kann ich anhand einer Skizze selber gut nachvollziehen. Jedoch hat mein Lehrer hernach keine Versuchsergebnisse verwendet, sonder nur theoretisch hergeleitet, was nun mein Problem ist. Wie komm ich bitte nun anhand von Zahlen, die ich aus einem Versuch habe, von der oben genannten Proportionalität auf die Funktion I(t) = [mm] I_0 [/mm] mal [mm] e^k?
[/mm]
Bis auf das Finden der Zerfallskonstante Lambda kapiere ich dann wieder. Aber dann tickts schon wieder aus. Lambda sagt ja die Wahrscheinlichkeit aus, dass ein Kern im nächsten Moment zerfallen kann. Für einen einzelnen Kern kann man dementsprechen keine Aussage treffen, weil zum einen das Zerfallsgesetz einen statistischen Charakter hat, zum anderen für einen Kern ein Zufallsexperiment nicht greifen kann. Aber wenn man von I(t) = [mm] I_0 [/mm] mal [mm] e^k [/mm] ausgeht, wie kommt man dann auf Lambda?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Do 20.09.2007 | | Autor: | ONeill |
> Guten Abend.
Nabend!
> Ich habe gerade vor mir meinen Eintrag über die Herleitung
> des radioaktiven Zerfallsgestzes, und verstehe gerade nach
> 2 stündigem Brüten überhaupt nichts mehr.
Das war bei mir im Physik Lk öfter mal der Fall. Gewöhn dich dran ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]") . So aber nun zu deinen Fragen 
> Im Unterrricht hat mein Physiklehrer Stromstöße beim
> Zerfallen von Thoriumsalzen gemessen. Dass nun die
> Änderungsrate dI nach dt direkt proportional zum
> Gesamtstrom [mm]I_0[/mm] ist, kann ich anhand einer Skizze selber [/b]
> gut nachvollziehen. Jedoch hat mein Lehrer hernach keine
> Versuchsergebnisse verwendet, sonder nur theoretisch
> hergeleitet, was nun mein Problem ist. Wie komm ich bitte
> nun anhand von Zahlen, die ich aus einem Versuch habe, von
> der oben genannten Proportionalität auf die Funktion I(t) =
> [mm]I_0[/mm] mal [mm]e^k?[/mm][/b]
Bei deiner Formel fehlt die Zeit noch!
[mm] I=I_0*e^{-k*t}
[/mm]
Das ist grundsätlich erst mal die Formel für den exponentiellen Zerfall. So etwas wird in der Regel in Mathe recht ausführlich behandelt. Wenn du I zur Zeit halblogarythmisch aufträgst erhälst du eine Gerade. Daher weißt du dass es sich um einen exponentiellen Zerfall handelt und dann kannst du die Formel anwenden. Wie man auf diese genau kommt wird im Mathe LK auch hergeleitet, es reicht aber aus wenn du die Grundformel kennst und weißt dass man sie beim exp. Wachstum oder Zerfall anwendet.
> Bis auf das Finden der Zerfallskonstante Lambda kapiere
> ich dann wieder.
Das leitet sich so her:
du hast die Standartformel
[mm] I=I_0*e^{-k*t} [/mm]
Da die Aktivität der Stärke des Ionisationsstroms proportional ist, wird ihre Abhängigkeit von der Zeit ebenfalls durch ein Exponentialgesetz angegeben:
[mm] A=A_0*e^{-k*t}
[/mm]
Nun willst du wissen nach welcher Zeit die Hälfte deines Präparates zerfallen ist (dann ist die Aktivität auch nur noch halb so groß!=>Halbwertszeit).
Also willst du t herausbekommen, wenn [mm] A=0,5*A_0
[/mm]
Das setzt du ein:
[mm] 0,5*A_0=A_0*e^{-k*t} [/mm] dividieren durch [mm] A_0
[/mm]
[mm] 0,5=e^{-k*t} [/mm] dies zeigt schon mal dass die HWZ unabhängig von der Menge des Stoffes ist!
Nun weiter nach t umstellen:
ln(0,5)=-k*t
[mm] \bruch{ln(0,5)}{-k}=t [/mm] nun ein bisschen mit den Lögarythmus-Gesetzen jonglieren und du kommst auf:
[mm] \bruch{ln(2)}{k}=t
[/mm]
Das kannst du natürlich noch nach k umstellen.
Es ist üblich in diesem Fall anstatt k [mm] \lambda [/mm] zu schreiben und t wird (weils die HWZ ist) auch als [mm] t_H [/mm] bezeichnet.
Aber dann tickts schon wieder aus. Lambda
> sagt ja die Wahrscheinlichkeit aus, dass ein Kern im
> nächsten Moment zerfallen kann. Für einen einzelnen Kern
> kann man dementsprechen keine Aussage treffen, weil zum
> einen das Zerfallsgesetz einen statistischen Charakter hat,
> zum anderen für einen Kern ein Zufallsexperiment nicht
> greifen kann.
Da liegst du richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber wenn man von I(t) = [mm]I_0[/mm] mal [mm]e^k[/mm] ausgeht, [/b]
> wie kommt man dann auf Lambda?
Siehe oben.
Bemerkung: Anscheinend hab ich beim Zitieren die Formatierung verhauen, ich hoffe du steigst da trotzdem noch durch.
Gruß ONeill
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Di 25.09.2007 | | Autor: | Bisl |
Ich habe, glaube ich, die Chronologie noch nicht ganz verstanden.
1.) Schritt
Duchführung des Ionisationsversuches
--> kein Verständnisproblem
2.) Schritt
Wertetabelle zum Ionisationsversuch in ein Diagramm einzeichnen, was eine exponentiell abnehmende Kurve zeigt.
Verständnisprobleme:
- Wie kann ich anhand von Zahlenpaaren eine Proportionalität zu einer e-Funktion aufstellen? Wenn dies
möglich ist, welche Proportionalität?
- Woher kann ich dann die Proportionalität zwischen
dI(t)/dt direkt proportional zu [mm] I_0 [/mm] ablesen/herziehen/mitZahlenpaaren beweisen?
3.) Anwendung des halblogarithmischen Maßstabes, was eine lineare Funktion bringt und die Proportionalität zwischen
dem Verhältnis [mm] I(t)/I_0 [/mm] direkt proportional zu t aufstellen läßt und uns letztenendes auf ein negatives Lambda kommen läßt.
Verständnispropleme
- Wiso wendet man hier einen halblogarithmischen Maßstab an?
- Warum hat man auf der y-Achse das Verhältnis zwsichen
[mm] I(t)/I_0 [/mm] zu bilden?
4.) Schritt
aus Schritt 3 bakannt:
dI(t)/dt dirket proportional zu [mm] I_0
[/mm]
Proportionalitätsfaktor ist negatives Lambda
--> dI(t)/dt=-Lambda mal [mm] I_0
[/mm]
Umstellung und Integration bringen:
--> [mm] I(t)=I_0 [/mm] mal e^-lambda mal t
Ist das so richtig??
5.)Schritt
Da ein mittlerer Ionisationsstrom fließt, gilt:
I_mittel(t)=delte N/delta t mal Ladung Q
Verständnisprobleme:
- Warum mittlerer Ionisationsstrom? Aufgrund der selbstständigen Gasentladung, die sich durch Stoßionisation lawinenartig ausbreitet?
- Was heißt folgendes Zitat: In der Strom-Spannungs-Kennlinie (-> exponentiel abnehmende Kurve aufgrund des Ionisationsstroms) "ist die Zahl der noch nicht zerfallenen Kernen qualitativ dargestellt." Was heißt qualitativ?
Denn "delta N/ delta t kann als Steigung der Sekante an am Graph zu t->N(t) aufgefasst werden." verstehe ich erst recht nicht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Di 25.09.2007 | | Autor: | Bisl |
was ich unter - ich glaub - Schritt 3 vergaß zu fragen, was bitte ein halblogarithmischer Maßstab ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Di 25.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
eine Achse ist logarithmisch die andere linear.
Du kannst im web solches Papier zum ausdrucken finden.
oder man kann es kaufen.
Gruss leduart
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Hallo!
> Ich habe, glaube ich, die Chronologie noch nicht ganz
> verstanden.
>
> 1.) Schritt
> Duchführung des Ionisationsversuches
> --> kein Verständnisproblem
>
> 2.) Schritt
> Wertetabelle zum Ionisationsversuch in ein Diagramm
> einzeichnen, was eine exponentiell abnehmende Kurve zeigt.
>
> Verständnisprobleme:
>
> - Wie kann ich anhand von Zahlenpaaren eine
> Proportionalität zu einer e-Funktion aufstellen? Wenn dies
> möglich ist, welche Proportionalität?
>
> - Woher kann ich dann die Proportionalität zwischen
> dI(t)/dt direkt proportional zu [mm]I_0[/mm]
> ablesen/herziehen/mitZahlenpaaren beweisen?
Du kannst das, was du weiter unten selbst aufgeschrieben hast, hier benutzten: [mm] \frac{\Delta I}{\Delta t} [/mm] ist zwischen benachbarten Punkten stets gleich. Daran erkennst du exponenzielle Zusammenhänge alleine an den Zahlen.
Wenn du die Daten zeichnest, wirst du sehen können, ob die Kurve tatsächlich wie eine e-Funktion aussieht. Wenn du von vornherein eine e-Funktion erwartest, kannst du das gleich halblogarithmisch auftragen. Das kommt jetzt:
>
> 3.) Anwendung des halblogarithmischen Maßstabes, was eine
> lineare Funktion bringt und die Proportionalität zwischen
> dem Verhältnis [mm]I(t)/I_0[/mm] direkt proportional zu t aufstellen
> läßt und uns letztenendes auf ein negatives Lambda kommen
> läßt.
>
> Verständnispropleme
>
> - Wiso wendet man hier einen halblogarithmischen Maßstab
> an?
Du hast nun Daten, die dem Gesetz [mm] $I_0*e^{\lambda*t}$ [/mm] folgen, also auf dieser Kurve liegen, deren Parameter [mm] I_0 [/mm] und [mm] \lambda [/mm] du nicht kennst.
Bilde doch mal den Logarithmus! Dann wird daraus [mm] $\ln I_0 [/mm] + [mm] \lambda*t$. [/mm] Das ist eine Gardengleichung! [mm] \lambda [/mm] ist nun die Steigung, und [mm] $\ln I_0$ [/mm] der y-Achsenabschnitt!
Das gleiche gilt für deine Wertepaare, wenn du den Logarithmus von den y-Werten nimmst. Auch die liegen auf einer graden, sofern sie einem exponenziellen Gesetz folgen.
>
> - Warum hat man auf der y-Achse das Verhältnis zwsichen
> [mm]I(t)/I_0[/mm] zu bilden?
>
Das MUSS man nicht machen. Sofern du [mm] I_0 [/mm] nicht kennst, weil du keine Messung bei t=0 hast, geht das ja gar auch nicht.
WENN du aber dein [mm] I_0 [/mm] bereits hast, kannst du [mm] $\frac{I_0*e^{\lambda*t}}{I_0}=e^{\lambda*t}$ [/mm] rechnen, das [mm] I_0 [/mm] fällt aus der Gleichung also raus, und du hast den reinen e-term da drin.
> 4.) Schritt
> aus Schritt 3 bakannt:
> dI(t)/dt dirket proportional zu [mm]I_0[/mm]
>
> Proportionalitätsfaktor ist negatives Lambda
> --> dI(t)/dt=-Lambda mal [mm]I_0[/mm]
> Umstellung und Integration bringen:
> --> [mm]I(t)=I_0[/mm] mal e^-lambda mal t
>
> Ist das so richtig??
>
> 5.)Schritt
> Da ein mittlerer Ionisationsstrom fließt, gilt:
> I_mittel(t)=delte N/delta t mal Ladung Q
>
> Verständnisprobleme:
> - Warum mittlerer Ionisationsstrom? Aufgrund der
> selbstständigen Gasentladung, die sich durch Stoßionisation
> lawinenartig ausbreitet?
Stell dir vor, da sind nur noch sehr wenig Ionen, dann kannst du die einzeln zählen! Aus statistischen Gründen sind da immer gewisse Schwankunden drin, mal sind es etwas mehr, mal etwas weniger Ionen. Wenn du den Versuch oft genug machst, oder noch ausreichend Ionen vorhanden sind, bekommst du relativ gleichmäßige Werte, das ist das, was hier gemeint ist.
>
> - Was heißt folgendes Zitat: In der
> Strom-Spannungs-Kennlinie (-> exponentiel abnehmende Kurve
> aufgrund des Ionisationsstroms) "ist die Zahl der noch
> nicht zerfallenen Kernen qualitativ dargestellt." Was heißt
> qualitativ?
Qualitativ heißt, daß da nur der erwartete Verlauf gezeigt ist, der sich jedoch NICHT auf konkrete Zahlen stützt. Die Zahlen hängen z.B. von [mm] I_0 [/mm] ab, aber die Kurve, die raus kommt, sieht immer so aus.
Der Begriff für das Gegenteil ist Quantitativ, der bezieht sich auch auf konkrete Zahlen.
> Denn "delta N/ delta t kann als Steigung der Sekante an am
> Graph zu t->N(t) aufgefasst werden." verstehe ich erst
> recht nicht
Das solltest du aus der Schule kennen! Man kann die Steigung einer Kurve doch bestimmen, indem man eine Tangente anlegt, und deren Steigung bestimmt. Es gilt [mm] m=\frac{\Delta y}{\Delta x} [/mm] (Steigungsdreieck.)
Hier sind deine Achsen jetzt nicht mit x und y beschriftet, sondern mit t und N(t).
Auch hast du keine Kurve, sondern nur ein paar Punkte. Ne Grade, die durch zwei Punkte einer Kurve geht, nennt sich Sekante, nicht Tangente.
Und bedenke, was die Steigung ist: Das gibt an, wie schnell die y-Werte einer Funktion größer oder kleiner werden, hier also, wie schnell es weniger Ionen werden!
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