rang einer matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Warum ändert sich der Rang einer Matrix und Lösung eines Gleichungssystems nicht, wenn man die Matrix durch elementaren Zeilen- und Spaltenumformungen umformt? |
Hallo allesamt!
vielleicht übersehe ich etwas in meiner Mitschrift, ich komme aber trotzdem nicht darauf, warum sich der rang einer Matrix nicht ändert.
Eine Idee wäre, dass
rang einer Matrix ist ja die maximale Anzahl der linear unabhängigen Vektoren, so ... wenn ich eine Zeile zu dem anderen addiere, ist klar, dass die Vektoren immer unabhängig bleiben... oder?
die wichtige Frage ist eigentlich, warum die elementaren Umformungen die Lösung der linearen Gleichungssystems nicht ändert??????
kann mir jemand bitte das kurz und einfach erklären??? BITTE
mit freundlichen Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:28 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Woltan |
Hallo zolushka,
elementare Spalten- und Zeilenumformungen sind lineare Operationen, sprich man kann sie auch durch Matrizen ausdrücken, die von links oder rechts an deine Matrix ranmultipliziert werden. Für lineare Gleichungssysteme gilt das Superpositionsprozip und wenn ich das richtig Verstanden habe, dann ist eine Lösung multipliziert mit einer Lösung auch eine Lösung des Gleichungssystems. Somit bleibt die Lösung und damit natürlich auch der Rang einer Matrix erhalten, wenn lineare Operationen auf sie ausgeführt werden.
Da ich mir nicht sicher bin, ob das was ich oben geschrieben habe richtig ist, habe ich es mal als Mitteilung getarnt. Ich hoffe ich konnte dir etwas weiterhelfen
cherio Woltan
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Hallo!
Ich denke, eine wichtige Eigenschaft der Zeilenumformungen/Spaltenumformungen ist, dass man sie rückgängig machen kann. Das bedeutet nämlich, dass es sich bei den entsprechenden Umformungsmatrizen um welche mit vollem Rang handelt, sie also invertierbar sind. Dann benötigst du noch die Ungleichung
rang(A*B) [mm] \le min\{rang(A),rang(B)\}
[/mm]
oder irgendetwas in der Art müsstest ihr gehabt haben.
Dann könnte man so argumentieren:
Zeilenumformungsmatrix: S - Vollrang
Es gilt
$rang(S*A) [mm] \le min\{rang(S),rang(A)\} [/mm] = [mm] \rang(A).$
[/mm]
Der Rang von S ist größergleich der von A, weil S soviele Zeilen wie A Spalten hat, und bei A ist nicht der Vollrang gesichert.
Wäre nun
$rang(S*A) < rang(A)$,
so würde
$rang(A) = [mm] rang((S^{-1}*S)*A) [/mm] = [mm] \rang(S^{-1}*(S*A)) \le min\{rang(S^{-1}),rang(S*A)\} [/mm] = [mm] \rang(S*A) [/mm] < rang(A)$
sein, Widerspruch 
Viele Grüße, Stefan.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 16.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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