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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Do 04.02.2010 | | Autor: | Schobbi |
| Aufgabe | Sei [mm] q\in\IQ\setminus{0} [/mm] und [mm] x\in\IR\setminus\IQ. [/mm] Beweisen oder wiederlegen Sie:
a) x+q [mm] \in\IR\setminus\IQ
[/mm]
b) xq [mm] \in\IR\setminus\IQ
[/mm]
c) [mm] (x+q)^2\in\IR\setminus\IQ [/mm] |
Guten Abend zusammen!
Obige Aufgabe stammt aus einer alten Klausur, aber irgenwie fehlt mir die zündende Idee wie ich hier einen Beweis starten soll, vielleicht könnt ihr mir mit einem Ansatz weiterhelfen.
Vielen Dank!
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Hallo,
> Sei [mm]q\in\IQ\setminus\{0\}[/mm] und [mm]x\in\IR\setminus\IQ.[/mm] Beweisen
> oder wiederlegen Sie:
> a) x+q [mm]\in\IR\setminus\IQ[/mm]
> b) xq [mm]\in\IR\setminus\IQ[/mm]
> c) [mm](x+q)^2\in\IR\setminus\IQ[/mm]
> Guten Abend zusammen!
> Obige Aufgabe stammt aus einer alten Klausur, aber
> irgenwie fehlt mir die zündende Idee wie ich hier einen
> Beweis starten soll, vielleicht könnt ihr mir mit einem
> Ansatz weiterhelfen.
Na, hier geht es darum, die Köpereigenschaften zu trainieren.
Nehmen wir mal die erste, den Rest kannst du dann:
Die Aussage stimmt intuitiv.
Wir wollen sie also zeigen.
Dazu machen wir einen netten indirekten Beweis.
Nehmen wir an, dass [mm] $(x+q)\in\IQ$, [/mm] also rational ist.
Mit [mm] $q\in\IQ, q\neq [/mm] 0$, gibts auch [mm] $-q\in\IQ, -q\neq [/mm] 0$, da [mm] $\IQ$ [/mm] ein Körper ist.
Da [mm] $\IQ$ [/mm] ein Körper ist, ist es u.s. auch gegen Addition (und natürlich gegen Subtraktion) abgeschlossen
Also ist [mm] $\underbrace{(x+q)}_{\in\IQ \ \text{nach Ann.}} [/mm] \ - \ [mm] \underbrace{q}_{\in\IQ} [/mm] \ \ [mm] \in\IQ$
[/mm]
$=x+(q-q)$ nach Assoziativgesetz in [mm] $(\IQ,+)$
[/mm]
$=x+0=x$
Also [mm] $x\in\IQ$, [/mm] was aber ein Widerspruch zur Voraussetzung ist [mm] $(x\in\IR\setminus\IQ)$
[/mm]
Also ist die Ann. falsch und $(x+q)$ ist nicht rational, also ist es irrational.
Die anderen gehen wohl analog, habe ich mir nicht näher angeschaut.
Probier's mal ...
Gruß
schachuzipus
> Vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Do 04.02.2010 | | Autor: | gfm |
> Also ist [mm]\underbrace{(x+q)}_{\in\IQ \ \text{nach Ann.}} \ - \ \underbrace{q}_{\in\IQ} \ \ \in\IQ[/mm]
Wenn ich mich in [mm] \IQ [/mm] befinde, darf ich dann so einfach in (x+q)-q die Klammern auflösen? Das "+" is ja hier eine Operation auf [mm] \IR, [/mm] das "-" auf [mm] \IQ. [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Do 04.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Wenn ich mich in [mm]\IQ[/mm] befinde, darf ich dann so einfach in
> (x+q)-q die Klammern auflösen? Das "+" is ja hier eine
> Operation auf [mm]\IR,[/mm] das "-" auf [mm]\IQ.[/mm]
Ja, kann man. Betrachte das - einfach als die Operation auf [mm] 8m]\IR[/m], [/mm] wobei [mm] [m9\IQ[/m] [/mm] einfach eine Teilmenge ist.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:16 Fr 05.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Na, hier geht es darum, die Köpereigenschaften zu
> trainieren.
..... und zwar im Fitness-Studio !!
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Do 04.02.2010 | | Autor: | gfm |
Die Idee mit dem Widerspruchsbeweis führt zum Erfolg. Ich mach es aber lieber elementar, da ich nicht so fit in Algebra bin:
Wenn [mm] x+q\in\IQ [/mm] gelte, gäbe es eine Darstellung als Bruch. q selber hat auch eine Darstellung als Bruch, woraus folgt, dass x auch eine Darstellung als Bruch hat. Das kann aber nicht sein. Das funktioniert auch bei xq. Und mit x = [mm] \wurzel{2}-1, [/mm] q=1 wäre [mm] (x+q)^2=2.
[/mm]
LG
gfm
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