reduzibles Polynom über Q < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:59 Sa 03.05.2008 | | Autor: | Fips12 |
| Aufgabe | | Man zeige, dass g = [mm] X^{4 }+ [/mm] 4 reduzibel über [mm] \IQ [/mm] ist. |
Hallo ihr!
Ich verzweifel grad an der Aufgabe.
Da deg (g) = 4 ist, reicht es nicht zu zeigen, dass g keine Nullstellen in [mm] \IQ [/mm] hat.
Ich hab die Nullstellen trotzdem berechnet:
[mm] \wurzel{2i},- \wurzel{2i},\wurzel{-2i},- \wurzel{-2i}
[/mm]
Mein nächster Gedanke war, dass ich die Linearfaktoren so multipliziere, dass ich zwei Quadratische Faktoren von g in [mm] \IQ [/mm] erhalte.
Was natürlich auch nicht geht.
Hmm...
Hat jemand von euch vielleicht noch eine Idee, wie man das ganze angehen könnte? Mir gehen sie langsam aus 
Danke!
F.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Man zeige, dass g = [mm]X^{4 }+[/mm] 4 reduzibel über [mm]\IQ[/mm] ist.
Hallo,
ich denke nicht, daß es Dr gelingen wird zu zeigen, daß das Polynom reduzibel ist.
Es ist doch nach dem Eisensteinkriterium irreduzibel über [mm] \IQ. [/mm] EDIT: das war Unfug.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Sa 03.05.2008 | | Autor: | Fips12 |
Hallo Angela!
Mit dem Eisensteinkriterium kann ich hier nicht zeigen, dass g irreduzibel ist.
Denn, Eisenstein-Kriterium:
Gilt p teilt nicht [mm] a_n, [/mm] p teilt [mm] a_i [/mm] für i=0,...,n-1, [mm] p^2 [/mm] teilt nicht [mm] a_o, [/mm] so ist g irreduzibel über Q.
Für g = [mm] X^4 [/mm] + 4 gibt es nur eine Primzahl p, die [mm] a_0 [/mm] teilt. Nämlich p=2.
Dann teilt aber auch [mm] p^2=4 a_0....
[/mm]
Also kann ich mit Eisenstein leider nicht sagen, dass das Polynom irreduzibel ist.
Oder hab ich einen anderen Denkfehler drin?
Trotzdem danke :)
Liebe Grüße,
F.
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> Mit dem Eisensteinkriterium kann ich hier nicht zeigen,
> dass g irreduzibel ist.
Hallo,
das war wirklich ziemlich dumm von mir...
Gruß v. Angela
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> Man zeige, dass g = [mm]X^{4 }+[/mm] 4 reduzibel über [mm]\IQ[/mm] ist.
> Hat jemand von euch vielleicht noch eine Idee, wie man das
> ganze angehen könnte? Mir gehen sie langsam aus
Hallo,
dann würde ich es ganz hausbacken zu Fuß angehen.
Das Polynom hat keine Nullstelle in [mm] \IQ. [/mm] Daher kann man keinen Linearfaktor abspalten.
Wenn es also reduzibel ist, ist es das Produkt zweier Polynome vom grad 2.
Also
[mm] x^4+4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d).
[/mm]
Dann einen Koeffizientenvergleich.
(Wenn ich nichts falsch gerechnet habe, kommt heraus, daß es irreduzibel ist)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Sa 03.05.2008 | | Autor: | Fips12 |
Hallo Angela!
Ich hab versucht durch Multiplizieren der Linearfaktoren auf zwei quadratische Faktoren zu kommen - ohne Erfolg.
Deine Idee mit dem Koeffizientenvergleich war jedoch Gold wert :)
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann hab ich gezeigt, dass das Polynom über [mm] \IQ [/mm] reduzibel ist!
zz. [mm] x^4 [/mm] + 4 = [mm] (x^2 [/mm] + ax + b) * ( [mm] x^2 [/mm] + cx + d)mit a,b,c,d [mm] \el\ \IQ
[/mm]
Beweis:
[mm] x^4 [/mm] + 4 = [mm] x^4 [/mm] + (a+c) [mm] x^3 [/mm] + (b + ac + d) [mm] x^2 [/mm] + ( bc +ad)x + bd
=> LGS:
(1) a+c = 0
(2) b + ac +d = 0
(3) bc + ad = 0
(4) bd = 4
aus (1) => a = - c
(1) in (3) => bc - cd = 0 => (b-d)c = 0
wg. Nullteilerfreiheit folgt dann
i) c = 0
ii) b-d = 0 => b = d
(1) und i) in (2):
(*)b + 0 + d = 0 => b = - d
dann in (4):
[mm] -d^2 [/mm] = 4 => d = 2i (Widerspruch zu a,b,c,d [mm] \el\ \IQ)
[/mm]
ii) in (4):
[mm] d^2 [/mm] = 4 => d = +/- 2
setze d = 2
dann (1), ii), d=2 in (2):
d - [mm] c^2 [/mm] + d = 0 => [mm] c^2 [/mm] = 2d = 4 => c = 2
(würde ich d = -2 wählen, hätte ich nachher wieder ein komplexes c)
also: a = -2, c = 2, b=d = 2
Probe:
[mm] (x^2-2x [/mm] + [mm] 2)(x^2 [/mm] + 2x +2 )= [mm] x^4 -2x^3+2x^2 [/mm] + [mm] 2x^3 [/mm] -4 [mm] x^2 [/mm] + 4x + [mm] 2x^2 [/mm] - 4x+ 4
= [mm] x^4 [/mm] + 4
Müsste eigentlich stimmen, oder?
Danke nochmal und einen schönen Samstag!
F.
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> Probe:
> [mm](x^2-2x[/mm] + [mm]2)(x^2[/mm] + 2x +2 )= [mm]x^4 -2x^3+2x^2[/mm] + [mm]2x^3[/mm] -4 [mm]x^2[/mm] +
> 4x + [mm]2x^2[/mm] - 4x+ 4
> = [mm]x^4[/mm] + 4
>
> Müsste eigentlich stimmen, oder?
Hallo,
[mm] ((x^2+2)-2x)((x^2+2)+2x)=(x^2+2)^2-4x^2=x^4+4x^2+4-4x^2=x^4+4.
[/mm]
Ich bin nun überzeugt. Es ist reduzibel.
Gruß v. Angela
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