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| Aufgabe | Matrix A [mm] \in M_{m \times n} (\IK) [/mm]
Ist die Zeilenstufenform A' reduziert so bilden die Vektoren
[mm] e_j [/mm] - [mm] \summe_{\{l|l\le j_l
j [mm] \in \{1,..,n\} [/mm] ohne [mm] \{j_1,...,j_k\}
[/mm]
eine Basis des Lösungsraums L
[mm] \{j_1,...,j_k\}.. [/mm] Sind die Spalten wo die Sprünge passieren. |
Ich verstehe gar nicht wie man darauf kommt, bzw. was da bedeutet.
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> Matrix A [mm]\in M_{m \times n} (\IK)[/mm]
> Ist die Zeilenstufenform A' reduziert so bilden die
> Vektoren
> [mm]e_j[/mm] - [mm]\summe_{\{l|l\le j_l
> j
> [mm]\in \{1,..,n\}[/mm] ohne [mm]\{j_1,...,j_k\}[/mm]
> eine Basis des Lösungsraums L
>
>
> [mm]\{j_1,...,j_k\}..[/mm] Sind die Spalten wo die Sprünge
> passieren.
> Ich verstehe gar nicht wie man darauf kommt, bzw. was da
> bedeutet.
Hallo,
zunächst einmal müßte die Aufgabe richtig gestellt sein, dh. auch mal gesagt, was mit L gemeint ist. Der Lösungsraum, klar. Aber wovon denn?
Naja, kein Problem. Es ist ja noch dunkel, mein Sud brodelt und es qualmt...
Abraxas sagt: die sucht den Lösungsraum von Ax=0.
Achso. Alles klar. Der Kern von A ist gesucht.
Ich greife mal Dein Beispiel aus dem anderen Thread auf:
Du hattest
[mm] v_1=\vektor{1 \\
2\\
4\\
6\\
1},v_2=\vektor{2 \\
4\\
8\\
15\\
6},v_3=\vektor{1 \\
2\\
4\\
9\\
8},v_4=\vektor{4\\
8\\
16\\
30\\
15},v_5=\vektor{3 \\
6\\
12\\
24\\
12} [/mm],
gesucht ist der Lösungsraum von
[mm] $ \pmat{ 1 & 2&1&4&3 \\ 2&4&2&8&6\\4&8&4&16&12\\6&15&9&30&24\\1&6&8&15&12} [/mm] $*x=0, dh
Kern$ [mm] \pmat{ 1 & 2&1&4&3 \\ 2&4&2&8&6\\4&8&4&16&12\\6&15&9&30&24\\1&6&8&15&12} [/mm] $.
Gefunden hattest Du mit Zeilenumformungen die ZSF
[mm] \pmat{ 1 & 2&1&4&3 \\
0&3&3&6&6\\
0&0&-3&-3&-1\\
0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0} [/mm]
-->[mm] \pmat{ 1 & 2&1&4&3 \\
0&1&1&2&2\\
0&0&1&1&1/3\\
0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0} [/mm]
-->[mm] \pmat{ 1 & 0&0&1&-2/3 \\
0&1&0&1&5/3\\
0&0&1&1&1/3\\
0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0} [/mm]
In der Anleitung oben steht nun übersetzt dies:
Sprünge passieren in Spalte 1,2 und 3.
Betrachte also Spalte 4 und 5, die Spalten ohne Sprunge.
Die Vektoren
[mm] (e_4-Spalte4) [/mm] und [mm] (e_5-Spalte5) [/mm] sind eine Basis des Kerns der Matrix [mm] \pmat{ 1 & 2&1&4&3 \\ 2&4&2&8&6\\4&8&4&16&12\\6&15&9&30&24\\1&6&8&15&12}.
[/mm]
Warum das so ist, merkst Du, wenn Du ausgehend von der ZSF den Kern berechnest, indem Du die Variablen der Spalten ohne Sprünge, also [mm] x_4 [/mm] und [mm] x_5 [/mm] frei wählst, und dann [mm] x_3,x_2, x_1 [/mm] ausrechnest.
(Man kann natürlich auch von der 4. Spalte [mm] e_4 [/mm] abziehen und von der 5. [mm] e_5, [/mm] und bekommt ebenfalls eine Basis des Kerns. Diese Vorgehensweise wird hier und da als "(-1)-Trick" bezeichnet.)
LG Angela
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> Die Vektoren
> [mm](e_4-Spalte4)[/mm] und [mm](e_5-Spalte5)[/mm] sind eine Basis des Kerns
> der Matrix [mm]\pmat{ 1 & 2&1&4&3 \\ 2&4&2&8&6\\4&8&4&16&12\\6&15&9&30&24\\1&6&8&15&12}.[/mm]
> (Man kann natürlich auch von der 4. Spalte [mm]e_4[/mm] abziehen
> und von der 5. [mm]e_5,[/mm] und bekommt ebenfalls eine Basis des
> Kerns. Diese Vorgehensweise wird hier und da als
> "(-1)-Trick" bezeichnet.)
widerspricht sich das nicht? Einmal steht [mm] e_5 [/mm] - Spalten5 und einmal von der 5.Spalten [mm] e_5 [/mm] abziehen.
> Warum das so ist, merkst Du, wenn Du ausgehend von der ZSF den Kern berechnest, indem Du die Variablen der Spalten ohne Sprünge, also $ [mm] x_4 [/mm] $ und $ [mm] x_5 [/mm] $ frei wählst, und dann $ [mm] x_3,x_2, x_1 [/mm] $ ausrechnest.
Okay, also
eine Basis des Lösungsraums L ist [mm] \vektor{-1 \\ -1\\-1\\1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{2/3\\ -5/3\\-1/3\\0\\1}
[/mm]
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> > Die Vektoren
> > [mm](e_4-Spalte4)[/mm] und [mm](e_5-Spalte5)[/mm] sind eine Basis des Kerns
> > der Matrix [mm]\pmat{ 1 & 2&1&4&3 \\
2&4&2&8&6\\
4&8&4&16&12\\
6&15&9&30&24\\
1&6&8&15&12}.[/mm]
>
> > (Man kann natürlich auch von der 4. Spalte [mm]e_4[/mm] abziehen
> > und von der 5. [mm]e_5,[/mm] und bekommt ebenfalls eine Basis des
> > Kerns. Diese Vorgehensweise wird hier und da als
> > "(-1)-Trick" bezeichnet.)
> widerspricht sich das nicht? Einmal steht [mm]e_5[/mm] - Spalten5
> und einmal von der 5.Spalten [mm]e_5[/mm] abziehen.
Hallo,
ich sehe jetzt den Widerspruch irgendwie nicht...
Beides sind Basen - sie unterscheiden sich auch nur gering.
Hast Du's mal gemacht?
Rechne ich [mm] e_j-Spaltej, [/mm] so bekomme ich als Basis [mm] B_1:=($\vektor{-1 \\ -1\\-1\\1\\0}$, $\vektor{2/3\\ -5/3\\-1/3\\0\\1}$),
[/mm]
rechne ich [mm] Spaltej-e_j [/mm] so bekomme ich Basis [mm] B_2:=(-$\vektor{-1 \\ -1\\-1\\1\\0}$, -$\vektor{2/3\\ -5/3\\-1/3\\0\\1}$).
[/mm]
LG Angela
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> > Warum das so ist, merkst Du, wenn Du ausgehend von der ZSF
> den Kern berechnest, indem Du die Variablen der Spalten
> ohne Sprünge, also [mm]x_4[/mm] und [mm]x_5[/mm] frei wählst, und dann
> [mm]x_3,x_2, x_1[/mm] ausrechnest.
> Okay, also
> eine Basis des Lösungsraums L ist [mm]\vektor{-1 \\
-1\\
-1\\
1\\
0}[/mm]
> und [mm]\vektor{2/3\\
-5/3\\
-1/3\\
0\\
1}[/mm]
>
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