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| Aufgabe | | Berechne die reellen Koeffizienten [mm] a_n, b_n [/mm] der 2PI-periodischen Fortsetzung u(t)= [mm] U*(1-t^2) [/mm] 0<t<2PI |
Hey, ich habe leider ein kleines Verständnisproblem bei einer Fourierreihe.
Mit den Berechnungsmethoden habe ich kein Problem. Sprich ich bekomme die richtigen Koeffizienten [mm] a_0, a_n, b_n [/mm] heraus, stimmt auch mit den Lösungen überein.
Mein Verständnis-PROBLEM: die Funktion ist ja eigentlich eine gerade Funktion, heisst spiegelsymetrisch zur Y-Achse.(f(t)=f(-t)). Eigentlich müsste dann ja [mm] b_n [/mm] = 0 sein, sprich der Sinus-Anteil wegfallen. Das tut er aber nicht, es kommt definitiv ein [mm] b_n [/mm] heraus (stimmt auch mit der Lösung vom Prof überein.)
Kann mir an der Stelle jemand meinen Denkfehler erläutern?
Viele Grüße,
Markus
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=547730
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 Di 28.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechne die reellen Koeffizienten [mm]a_n, b_n[/mm] der
> 2PI-periodischen Fortsetzung u(t)= [mm]U*(1-t^2)[/mm] 0<t<2PI
> Hey, ich habe leider ein kleines Verständnisproblem bei
> einer Fourierreihe.
>
> Mit den Berechnungsmethoden habe ich kein Problem. Sprich
> ich bekomme die richtigen Koeffizienten [mm]a_0, a_n, b_n[/mm]
> heraus, stimmt auch mit den Lösungen überein.
>
> Mein Verständnis-PROBLEM: die Funktion ist ja eigentlich
> eine gerade Funktion, heisst spiegelsymetrisch zur
> Y-Achse.(f(t)=f(-t)).
ne, das ist sie nicht. Du kannst ja *logisch ähnlich* ansonsten auch sagen,
dass
[mm] $f(x)=|x|\,$ [/mm] für $0 [mm] \le [/mm] x < [mm] 2\pi$
[/mm]
sonst symmetrisch zur y-Achse wäre, wenn man sie [mm] $2\pi$-periodisch [/mm] fortsetzt.
(Und dass das Quatsch ist, sollte Dir klar sein!)
Übrigens ist bei
> 2PI-periodischen Fortsetzung u(t)= [mm]U*(1-t^2)[/mm] 0<t<2PI
etwas gar nicht klar: Nämlich, was passiert an den Stellen [mm] $k*2\pi$ [/mm] mit $k [mm] \in \IZ$?
[/mm]
Das Ding ist also nicht auf [mm] $\IR$ [/mm] definiert...
Ansonsten, wie gesagt: Skizziere Dir mal den Graphen der Funktion auf
[mm] $[0,2\pi)$ [/mm] (dort wird sie wohl so gemeint sein) und dann überlege Dir, was
passiert, wenn Du dieses "Graphenstück" in [mm] $[-2\pi,0)$ [/mm] "verlagerst".
Dann gilt nämlich
[mm] $f(-2\pi+x)=f(x)=U*(1-x^2)\,.$
[/mm]
Bekommst Du den Graphen skizziert, oder soll ich Dir mal ein Bild plotten?
Und noch ein Beispiel: Wäre [mm] $U=1\,,$ [/mm] so wäre
[mm] $f(-1)=f(-1-(-2\pi))=f(2\pi-1)=1-(2\pi-1)^2$
[/mm]
Vergleiche das mal mit
[mm] $f(1)=(1-1)^2=0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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