reelle Funktion -> Potenzreihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:21 Mi 28.09.2005 | | Autor: | mx2002 |
Hallo,
habe noch eine Frage:
Stellen Sie die reelle Funktion
[mm]
f(x) = \bruch{d}{dx}(x^{2} \bruch{1}{1-x})
[/mm]
durch (1) eine Potenzreihe um [mm] 0 [/mm] dar und bestimmen Sie (2) den Konvergenzradius.
Zu (1):
Kann man die Funktion als Taylor-Polynom darstellen oder was ist gemeint. Was mache ich mit dem [mm]\bruch{d}{dx}[/mm] die Funktion vorher ableiten? Ich komme leider nicht weiter.
Zu (2):
Konvergenzradius könnte man durch eine Formel von Cauchy-Hadamard berechnen. Kann aber nichts mit einem lim sup anfangen.
Habe also doch noch große Schwierigkeiten mit Potenzreihen, es wäre hilfreich wenn mir das jemand Schritt für Schritt erklären könnte.
Gruß,
mx2002
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 Mi 28.09.2005 | | Autor: | Julius |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Es gilt für $x \in \IR$ mit $|x|<1$:
$f(x) = \frac{d}{dx} \left(x^2 \cdot \frac{1}{1-x} \right)$
$= \frac{d}{dx} \left(x^2 \cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n \right)$
$= \frac{d}{dx} \left( \sum\limits_{n=0}^{\infty} x^{n+2} \right)$
$= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{d}{dx} x^{n+2} \right)$
(überlege dir bitte selbst mit entsprechenden Sätze (Stichwort: lokal gleichmäßige Konvergenz), warum du hier das Differential "reinziehen" darfst)
$= \sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+2)x^{n+1}$
[ $= \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n+1)x^n$ ].
Den Konvergenzradius wirst du jetzt wohl selber bestimmt bekommen...
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Mi 28.09.2005 | | Autor: | mx2002 |
Hallo,
Danke erst mal für die schnelle und präzise Antwort.
Ich habe noch eine kleine Nachfrage zum Konvergenzradius:
[mm]
r = \bruch{1}{\lim \sup(|(n+1)|^{\bruch{n}{2}})}
[/mm]
Was ist n? Wie berechne ich diese Formel? Kann mir bitte jemand helfen?
Eine andere Formel die ich gefunden habe ist:
[mm]
r = \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{n+1}{n+2}|
[/mm]
Womit im 2. Fall der Konvergenzradius dann [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{n+2} + \bruch{1}{n+2}=1+0[/mm] wäre. Ist das korrekt? Wann darf man die 2. Formel anwenden und wann muss man zur 1. greifen?
Vielen Dank für die Hilfe.
Gruß,
mx2002
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Mi 28.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Deine erste Formel stimmt nicht.
Aber die Aussage ist korrekt, der Konvergenzradius ist gleich $1$.
Du kannst ihn immer über
[mm] $\rho [/mm] = [mm] \frac{1}{\limsup\limits_{n \to \infty} \left\vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert }$
[/mm]
oder
[mm] $\rho [/mm] = [mm] \frac{1}{\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$
[/mm]
bestimmen.
Liebe Grüße
Julius
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