reelle Lösung von Diff.gleichu < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Mo 03.03.2008 | | Autor: | tibbery |
| Aufgabe | Brechnen Sie die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems:
y' = [mm] \begin{Bmatrix}
1 & 3 & 2 & 3 \\
1 & -1 & -2 & 0 \\
1 & 0 & -4 & 3 \end{Bmatrix} [/mm] x = [mm] \begin{Bmatrix}
1 \\
0 \\
-2
\end{Bmatrix} [/mm] |
Sooo, die hoffentlich letzte Frage für diese Mathelerneinheit! Morgen gehts zur Sache!
Also. Bei dieser kleinen Aufgabe habe ich die 3 Eigenvektoren bestimmt (1, 1+i, 1-i). Dazu die Eigenvektoren aufgestellt
v= [mm] \begin{Bmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{Bmatrix} [/mm], w= [mm] \begin{Bmatrix}
0 \\
1 \\
i \\
\end{Bmatrix}[/mm] , u= [mm] \begin{Bmatrix}
0 \\
1 \\
-i
\end{Bmatrix} [/mm]
Wenn ich das richtig verstanden habe, so ist die komplexe Lösung
y(x)= [mm] d_1 e^x[/mm] [mm] \begin{Bmatrix}
1 \\
0 \\
1\end{Bmatrix}[/mm] + [mm] d_2 e^{(1+i)x}[/mm] [mm] \begin{Bmatrix}
0 \\
1 \\
i
\end{Bmatrix} [/mm] + [mm] d_3 e^{(1-i)x}[/mm] [mm] \begin{Bmatrix}
0 \\
1 \\
-i \end{Bmatrix} [/mm]
Was aber (mei sieht das schick aus mit den Matrizen...hat aber auch gedauert ;) ist jetzt die reelle Lösung? Ich weiß, dass da irgendetwas mit Cosinus und Sinus passiert, aber ich versteh den Zusammenhang nicht so recht. (Hat das etwas mit den Polarkoordinaten zu tun?)
Noch ein letztes mal ;) (vorerst) ...vielen Dank im vorraus!
Juliane
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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Hallo Juliane,
> Brechnen Sie die allgemeine Lösung des
> Differentialgleichungssystems:
>
>
>
> y' = [mm]\begin{Bmatrix}
1 & 3 & 2 & 3 \\
1 & -1 & -2 & 0 \\
1 & 0 & -4 & 3 \end{Bmatrix}[/mm]
Da muß doch stehen: [mm]y'=A*y[/mm].
> x = [mm]\begin{Bmatrix}
1 \\
0 \\
-2
\end{Bmatrix}[/mm]
Ist das die Anfangsbedingung?
Die Matrix A des DGL-Systemes [mm]y'=A*y[/mm] muss quadratisch sein, um die Eigenwerte bzw, Eigenvektoren zu berechnen. Da Du 3 Eigenwerte hast, muß demnach die Matrix A eine (3x3)-Matrix sein.
> Sooo, die hoffentlich
> letzte Frage für diese Mathelerneinheit! Morgen gehts zur
> Sache!
>
> Also. Bei dieser kleinen Aufgabe habe ich die 3
> Eigenvektoren bestimmt (1, 1+i, 1-i). Dazu die
> Eigenvektoren aufgestellt
>
> v= [mm]\begin{Bmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{Bmatrix} [/mm], w= [mm]\begin{Bmatrix}
0 \\
1 \\
i \\
\end{Bmatrix}[/mm] , u= [mm]\begin{Bmatrix}
0 \\
1 \\
-i
\end{Bmatrix}[/mm]
>
>
> Wenn ich das richtig verstanden habe, so ist die komplexe
> Lösung
>
> y(x)= [mm]d_1 e^x[/mm] [mm]\begin{Bmatrix}
1 \\
0 \\
1\end{Bmatrix}[/mm] + [mm]d_2 e^{(1+i)x}[/mm]
> [mm]\begin{Bmatrix}
0 \\
1 \\
i
\end{Bmatrix}[/mm] + [mm]d_3 e^{(1-i)x}[/mm]
> [mm]\begin{Bmatrix}
0 \\
1 \\
-i \end{Bmatrix}[/mm]
>
> Was aber (mei sieht das schick aus mit den Matrizen...hat
> aber auch gedauert ;) ist jetzt die reelle Lösung? Ich
> weiß, dass da irgendetwas mit Cosinus und Sinus passiert,
> aber ich versteh den Zusammenhang nicht so recht. (Hat das
> etwas mit den Polarkoordinaten zu tun?)
Ja. Es gilt: [mm]e^{i*\varphi}=\cos\left(\varphi\right)+i*sin\left(\varphi\right)[/mm]
Nun um an reelle Lösungen zu kommen, gehe folgendermaßen vor.
Nimm einen komplexen Eigenwert und die dazugehörige Lösung.
Beispielsweise: [mm]\overrightarrow{u}*e^{\left(1-i\right)*x)[/mm].
Multipliziere dies aus, und teile es auf in Real- und Imaginärteil. Der Real- und der Imaginärteil für sich stellen wiederum Lösungen des DGL-Systems dar.
>
> Noch ein letztes mal ;) (vorerst) ...vielen Dank im
> vorraus!
>
> Juliane
>
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Mo 03.03.2008 | | Autor: | tibbery |
Entschuldige, aber irgendwie verstehe ich das nicht ganz. (Ich dachte erst ich hätte es,aber bei einer weiteren Aufgabe kam etwas absolut falsches heraus).
Wenn ich [mm] \vec u * e^{(1-i)} [/mm] ausrechne,steht dort:
[mm] 0 * e^{(1-i)} + 1 * e^{(1-i)} - i * e^{(1+i)} [/mm]
was aber sagt mir das jetzt genau?
die lösung auf meinem zetel gibt folgendes an:
[mm] y(x)= c_1 e^x \begin{Bmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{Bmatrix} + c_2 e^x \begin{Bmatrix}
0 \\
cos(x) \\
-sin(x) \end{Bmatrix} + c_3 e^x \begin{Bmatrix}
0 \\
sin(x) \\
cos(x) \end{Bmatrix} [/mm]
Ich brauche eine Erklärung für Dumme, so richtig..einfach! ;)
(Muss ich irgendwelche Werte vergleichen..?)
Juliane
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Hallo Juliane,
> Entschuldige, aber irgendwie verstehe ich das nicht ganz.
> (Ich dachte erst ich hätte es,aber bei einer weiteren
> Aufgabe kam etwas absolut falsches heraus).
>
> Wenn ich [mm]\vec u * e^{(1-i)}[/mm] ausrechne,steht dort:
>
> [mm]0 * e^{(1-i)} + 1 * e^{(1-i)} - i * e^{(1+i)}[/mm]
>
>
> was aber sagt mir das jetzt genau?
Mit Ausmultiplizieren meinte ich, auch das ersetzen von [mm]e^{-ix}[/mm].
> die lösung auf meinem zetel gibt folgendes an:
>
> [mm]y(x)= c_1 e^x \begin{Bmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{Bmatrix} + c_2 e^x \begin{Bmatrix}
0 \\
cos(x) \\
-sin(x) \end{Bmatrix} + c_3 e^x \begin{Bmatrix}
0 \\
sin(x) \\
cos(x) \end{Bmatrix}[/mm]
>
>
> Ich brauche eine Erklärung für Dumme, so richtig..einfach!
Fangen wir mal an: Wir haben also [mm]\overrightarrow{u}*e^{\left(1-i\right)x}[/mm]
mit [mm]\overrightarrow{u}=\pmat{ 0 \\ 1 \\ -i}[/mm]
[mm]\overrightarrow{u}*e^{\left(1-i\right)x}=\overrightarrow{u}*e^{x}*\left(\cos\left(x\right)-i*\sin\left(x\right)\right)[/mm]
[mm]=\pmat{ 0 \\ 1 \\ -i}*e^{x}*\left(\cos\left(x\right)-i*\sin\left(x\right)\right)[/mm]
[mm]=e^{x}*\left(\pmat{ 0 \\ 1 \\ -i}*\cos\left(x\right) - \pmat{ 0 \\ 1 \\ -i}*i*\sin(\left(x\right)\right)[/mm]
[mm]=e^{x}*\left(\pmat{ 0 \\ 1 \\ -i}*\cos\left(x\right) - \pmat{ 0 \\ i \\ -i^{2}}*\sin(\left(x\right)\right)[/mm]
[mm]=e^{x}*\left(\pmat{ 0 \\ 1 \\ -i}*\cos\left(x\right) + \pmat{ 0 \\ -i \\ -1}*\sin(\left(x\right)\right)[/mm]
[mm]=e^{x}*\left(\pmat{ 0 \\ \cos\left(x\right) \\ -\sin(\left(x\right)} - i*\pmat{ 0 \\ \sin\left(x\right) \\ \cos\left(x\right)}\right)[/mm]
Nun stellen Real- als auch Imaginärteil eine Lösung des DGL-Systems 1. Ordnung dar:
[mm]z_{1}\left(x\right)=e^{x}*\pmat{ 0 \\ \cos\left(x\right) \\ -\sin(\left(x\right)}[/mm]
[mm]z_{2}\left(x\right)=e^{x}*\pmat{ 0 \\ \sin\left(x\right) \\ \cos\left(x\right)}[/mm]
So daß sich die homogene Lösung des DGL-Systems 1. Ordnung wie folgt ergibt:
[mm]y\left(x\right)=c_{1}*e^{x}*\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1} + c_{2}*z_{1}\left(x\right)+c_3*z_{2}\left(x\right)[/mm]
[mm]=y\left(x\right)=c_{1}*e^{x}*\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1} + c_{2}*e^{x}*\pmat{ 0 \\ \cos\left(x\right) \\ -\sin(\left(x\right)}+c_3*e^{x}*\pmat{ 0 \\ \sin\left(x\right) \\ \cos\left(x\right)}[/mm]
> ;)
> (Muss ich irgendwelche Werte vergleichen..?)
Nein.
>
> Juliane
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Mo 03.03.2008 | | Autor: | tibbery |
In Ordnung, Danke! Das habe ich soweit geschluckt.
Aber nun hab ich diesen einen Fall, dass dort steht:
[mm] c_1e^{(2+i)x} \pmat{ 1 \\ -i } [/mm]
Was mache ich mit der 2? Auf das gewünschte Ergebnis komme ich nicht (ein Vorzeichen ist falsch)
ich erhalte:
[mm] c_1 e^{2x} \pmat{ cos(x) \\ sin(x)} + c_2 e^2x \pmat{ sin(x) \\ -cos(x) } [/mm]
auf meinem Lösungszettel steht aber:
[mm] c_1 e^{2x} \pmat{ cos(x) \\ sin(x)} + c_2 e^2x \pmat{ sin(x) \\ cos(x) } [/mm]
welcher nicht garantiert, dass die lösung richtig ist. habe ich mich nun also entweder verrechnet, die 2 hat einfluss auf die ganze rechnung oder die angabe auf dem lösungszettel ist falsch. letzteres wäre wünschenswert!
juliane
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Hallo Juliane,
> In Ordnung, Danke! Das habe ich soweit geschluckt.
> Aber nun hab ich diesen einen Fall, dass dort steht:
>
> [mm]c_1e^{(2+i)x} \pmat{ 1 \\ -i }[/mm]
>
> Was mache ich mit der 2? Auf das gewünschte Ergebnis komme
> ich nicht (ein Vorzeichen ist falsch)
>
> ich erhalte:
>
> [mm]c_1 e^{2x} \pmat{ cos(x) \\ sin(x)} + c_2 e^2x \pmat{ sin(x) \\ -cos(x) }[/mm]
>
>
> auf meinem Lösungszettel steht aber:
>
> [mm]c_1 e^{2x} \pmat{ cos(x) \\ sin(x)} + c_2 e^2x \pmat{ sin(x) \\ cos(x) }[/mm]
>
> welcher nicht garantiert, dass die lösung richtig ist. habe
> ich mich nun also entweder verrechnet, die 2 hat einfluss
> auf die ganze rechnung oder die angabe auf dem
> lösungszettel ist falsch. letzteres wäre wünschenswert!
Du hast alles richtig gemacht.
Die Lösung auf dem Lösungszettel stimmt nicht.
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> juliane
Gruß
MathePower
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