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| Aufgabe | Wie komme ich von
[mm] p(x)=ce^{\bruch{2k\pi*ix}{L}}+de^{\bruch{-2k\pi*ix}{L}}
[/mm]
auf
[mm] p(x)=A*cos(\bruch{2k\pi*x}{L}) [/mm] + [mm] B*sin(\bruch{2k\pi*x}{L})
[/mm]
wobei A,B [mm] \in \IR [/mm] |
Hallo zusammen
Ich habe eine kleine Frage und zwar ging ich unseren Skript durch und verstehe nun nicht mehr ganz, was wir bei folgendem Schritt geacht haben:
Gegeben ist eine L periodische Gleichung
[mm] p(x)=ce^{\bruch{2k\pi*ix}{L}}+de^{\bruch{-2k\pi*ix}{L}}
[/mm]
Nun interessieren wir uns nur für die reellwertigen Lösungen, also kann man die Exponentialfunktion doch umschreiben
[mm] e^{i\phi}=cos(\phi)+i*sin(\phi)
[/mm]
also wäre das bei obiger Gleichung:
[mm] p(x)=c(cos(\bruch{2k\pi*x}{L})+i*sin(\bruch{2k\pi*x}{L})) [/mm] + [mm] d(cos(\bruch{-2k\pi*x}{L})+i*sin(\bruch{-2k\pi*x}{L}))
[/mm]
dann mal etwas geordnet:
[mm] p(x)=(c+d)(cos(\bruch{2k\pi*x}{L})+cos(\bruch{-2k\pi*x}{L})) [/mm] + [mm] 2i(c+d)(sin(\bruch{2k\pi*x}{L})+sin(\bruch{-2k\pi*x}{L}))
[/mm]
da cos gerade und sinus ungerade
[mm] p(x)=2(c+d)(cos(\bruch{2k\pi*x}{L})
[/mm]
wenn ich nun der Übersichtlichkeit halber A als 2(c+d) definiere, folgt:
[mm] p(x)=A*cos(\bruch{2k\pi*x}{L})
[/mm]
Die Lösung die ich mir notiert habe ist jedoch
[mm] p(x)=A*cos(\bruch{2k\pi*x}{L}) [/mm] + [mm] B*sin(\bruch{2k\pi*x}{L})
[/mm]
wobei A,B [mm] \in \IR
[/mm]
Nun weiss ich nicht, was ich falsch gemacht habe. Könnte mir evt jemand einen Tipp geben? Wäre sehr dankbar.. =)
Liebste Grüsse Grenzwert
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Uiuiui..
Vielen Dank!! Da hab ich ja einiges etwas zu schnell gemacht.. :s
Die Korrekturen sind mir völlig klar, was für ein Schussel ich doch bin!
Nur dann bei der Endform:
> [mm]p(x) = (c+d)\cos(\bruch{2k\pi*x}{L}) + i(c-d)\sin(\bruch{2k\pi*x}{L})[/mm]
>
Damit ich auf die Form [mm] p(x)=A*cos(\bruch{2k\pi*x}{L})+B*sin(\bruch{2k\pi*x}{L}) [/mm] komme mit [mm] A,B\in\IR [/mm] geht man da stillschweigend davon aus, dass [mm]d=\overline{c}[/mm]?
Ich denke schon, oder? Man definiert B einfach als reelle Zahl und die Bedingungen an i(c-d) sind dadurch gegeben, auch wenn nicht explizit formuliert/hingechrieben..
Ich bin echt sehr dankbar für die Hilfe! Scheine es jetzt tatsächlich zu verstehen.. Hoffe mein Gefühl täuscht mich nicht ;)
lg Grenzwert
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Do 06.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Damit ich auf die Form
> [mm]p(x)=A*cos(\bruch{2k\pi*x}{L})+B*sin(\bruch{2k\pi*x}{L})[/mm]
> komme mit [mm]A,B\in\IR[/mm] geht man da stillschweigend davon aus,
> dass [mm]d=\overline{c}[/mm]?
Nein nicht stillschweigend. Das ist äquivalent zur Bedingung [mm]A,B\in\IR[/mm], denn die ist äquivalent zu [mm]c+d \in \IR[/mm] und [mm]i(c-d)\in \IR[/mm], was zusammengefasst [mm]c=\overline{d}[/mm] ist.
Viele Grüße
Rainer
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Da hast du zuviel ausgeklammert:
