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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:18 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Olek |
Hallo Matheraum,
zur Zeit ist hier ja der Bär los, und da die Suchfunktion derzeit deaktiviert ist hoffe ich, dass diese Frage noch nicht gestellt worden ist.
Wir haben verschiedene Teilmengen gegeben, teilweise mit besonderen Voraussetzungen, und sollen sagen ob es sich jeweils um einen reellen Vektorraum handelt.
Ich habe aus dem Skript auch bereits die Kriterien für einen reellen Vektorraum rausgesucht, doch ich schaffe es nicht diese in Verbindung zu den Aufgaben zu setzen.
Ich gebe jetzt mal ein paar Beispiele. Es wäre schön wenn ihr mir sagen könnt wie man die Kriterien prüft.
Gelte jeweils [mm] n\ge3.
[/mm]
1) [mm] {\lambda^{2}(1,2,...,n)+\mu(n,n-1,...,2,1)|\lambda,\mu\in\IR}
[/mm]
2) [mm] {{(x_{1},...,x_{n})\in\IR^{n}|(x_{1})^{2}=(x_{2})^{2}}}
[/mm]
Und dann noch zwei ganz seltsame Sachen:
{(1,1,...,1,1)}
und
[mm] {\emptyset}
[/mm]
Vielen Dank für eure Antworten,
mfG Olek
Ps: Aus seltsamen Gründen werden die geschweiften Klammern nicht angezeigt!?
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Guten Morgen!
Die letzte Frage zuerst: die geschweiften Klammern werden nicht angezeigt, weil sie in LaTeX dazu dienen, "Kommandoblöcke" zu bilden, genau wie in C++ z.B.
Willst Du eine geschweifte Klammer in der Ausgabe, musst Du ihr einen Backslash voranstellen.
Jetzt zur Sache: Betrachtet werden hier Teilmengen von [mm] $\IR^n$ [/mm] und gefragt ist, ob dies Untervektorräume sind. Naja und für eine Teilmenge $X [mm] \subseteq \IR^n$ [/mm] gilt: $X$ ist ein Untervektorraum, falls
i) $0 [mm] \in [/mm] X$ (0 ist hier der Nullvektor im [mm] $\IR^n$)
[/mm]
ii) Für $x,y [mm] \in [/mm] X$ gilt $x + y [mm] \in [/mm] X$
iii) Für $x [mm] \in [/mm] X$ und [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] gilt: [mm] $\lambda [/mm] x [mm] \in [/mm] X$
Man kann das auch abwandeln, aber das wäre erstmal das, was zu zeigen ist.
Jetzt musst Du schauen, ob für die genannten Beispiele diese Gesetze erfüllt sind. Für die beiden "seltsamen" ist das ganz leicht, man muss sich nur das erste Gesetz ansehen. Für die anderen beiden solltest Du prüfen, ob die Gesetze ii) und iii) erfüllt sind oder nicht.
Viel Erfolg!
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Olek |
Hi,
ich habe da noch ein paar Schwierigkeiten. Ich habe diese Kriterien alternativ auch so gefunden, dass man als erstes zeigen soll, dass die Menge nicht leer sein soll. Angeblich sei das das Gleiche wie dass die 0 enthalten ist, aber für {(1,1,...,1,1)} ist das doch nicht das Gleiche. Die Menge ist doch nicht leer, aber die Null ist trotzdem nicht drin.
Und dann wär es schön wenn ihr mir mal anhand eines Beispiels zeigt, wie man das Ganze aufschreibt.
[mm] {{(x_{1},...,x_{n})\in\IR^{n}|(x_{1})^{2}=(x_{2})^{2}}}
[/mm]
Ich nehme mir ein [mm] x_{1} [/mm] und ein [mm] x_{2} [/mm] und addiere die. Und dann? Aus welchem Grund liegt das Ergebnis auch in X? Ähnlich Problem habe ich bei der skalaren Multiplikation. Woran sehe ich dass [mm] \lambdax_{1} \in [/mm] X ist?
Schönen Abend noch,
Olek
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Hallo Olek,
> Hi,
> ich habe da noch ein paar Schwierigkeiten. Ich habe diese
> Kriterien alternativ auch so gefunden, dass man als erstes
> zeigen soll, dass die Menge nicht leer sein soll. Angeblich
> sei das das Gleiche wie dass die 0 enthalten ist, aber für
> {(1,1,...,1,1)} ist das doch nicht das Gleiche. Die Menge
> ist doch nicht leer, aber die Null ist trotzdem nicht
> drin.
In Kombination mit der Skalarmultiplikation ist das dann doch das gleiche. Denn es müsste ja dann
0*{(1,1,...,1,1)}={(0,0,...,0,0)} auch enthalten sein.
> Und dann wär es schön wenn ihr mir mal anhand eines
> Beispiels zeigt, wie man das Ganze aufschreibt.
> [mm]{{(x_{1},...,x_{n})\in\IR^{n}|(x_{1})^{2}=(x_{2})^{2}}}[/mm]
> Ich nehme mir ein [mm]x_{1}[/mm] und ein [mm]x_{2}[/mm] und addiere die. Und
> dann?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
(1) Zwei (allgemeine) Elemente hernehmen und zeigen das es gilt
oder (falls Du die Vermutung hast es gilt nicht
(2) Ein Gegenbeispiel finden.
Also
(1) Ich nehme mal a,b
[mm] a_1^2=a_2^2 [/mm] und [mm] b_1^2=b_2^2 [/mm]
und daraus jetzt folgern das es für die Summe auch gilt
[mm] (a_^1+b_1)^2=(a_^2+b_2)^2
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] a_1^2+2a_1b_1+b_1^2=a_2^2+2a_2b_2+b_2^2
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (Voraussetzung einsetzen
[mm] 2a_1b_1=2a_2b_2
[/mm]
Das wäre jetzt vielleicht der ideale Zeitpunkt sich ein Gegenbsp. zu überlegen 
Alles klar?
viele Grüße
mathemaduenn
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