reelle Zahl über 0 bzw. n < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 So 04.11.2007 | | Autor: | matt57 |
| Aufgabe | Hallo
Ich soll mittels Induktion (oder auch anders) nachweisen, dass
[mm] \vektor{\alpha \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{\alpha +1 \\ 1}+...+\vektor{\alpha +n \\ n}=\vektor{\alpha +n +1 \\ n} [/mm] |
Für n=1
habe ich bereits
1+ [mm] \vektor{\alpha + 1 \\ 1} [/mm] = 1+ [mm] \alpha [/mm] +1 = [mm] \alpha [/mm] +1 +1 = [mm] \vektor{\alpha +1 + 1\\ 1}
[/mm]
da
[mm] \vektor{\alpha \\ 0} [/mm] = 1
und
[mm] \vektor{\alpha + 1 \\ 1}=\alpha [/mm] +1
Leider komme ich beimm IS nicht weiter
Bitte um Hilfe - Vielen Dank!
Danke und Gruß
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Hallo matt57,
> [mm]\vektor{\alpha \\ 0}[/mm] + [mm]\vektor{\alpha +1 \\ 1}+...+\vektor{\alpha +n \\ n}=\vektor{\alpha +n +1 \\ n}[/mm]
>
> Für n=1
> habe ich bereits
>
> 1+ [mm]\vektor{\alpha + 1 \\ 1}[/mm] = 1+ [mm]\alpha[/mm] +1 = [mm]\alpha[/mm] +1 +1 =
> [mm]\vektor{\alpha +1 + 1\\ 1}[/mm]
>
> da
>
> [mm]\vektor{\alpha \\ 0}[/mm] = 1
> und
> [mm]\vektor{\alpha + 1 \\ 1}=\alpha[/mm] +1
Eigentlich kannst du hier sogar bei [mm]n=0\![/mm] anfangen, denn [mm]\textstyle\binom{\xi}{0}=\frac{\xi!}{0!\xi!}=1[/mm] für jedes [mm]\xi\in\mathbb{N}_0[/mm].
Machen wir jetzt den Induktionsschritt vorausgesetzt die zu beweisende Aussage gelte für alle natürlichen Zahlen einschließlich 0 (*):
[mm]\sum_{i=0}^{n+1}{\binom{\alpha+i}{i}} = \binom{\alpha+n+1}{n+1}+\sum_{i=0}^n{\binom{\alpha+i}{i}}\stackrel{(\*)}{=}\binom{\alpha+n+1}{n+1}+\binom{\alpha+n+1}{n}[/mm]
Der Rest ist Einsetzen der Definition des Binomialkoeffizienten und Addition zweier Brüche:
[mm]= \frac{(\alpha+n+1)!}{(n+1)!\cdot{}\alpha!}+\frac{(\alpha+n+1)!}{n!\cdot{}(\alpha+1)!}=\frac{(\alpha+n+1)!\cdot{}\left(n!\cdot{(\alpha+1)!}+(n+1)!\cdot{\alpha!}\right)}{\alpha!\cdot{}(\alpha+1)!\cdot{}n!\cdot{}(n+1)!}[/mm]
[mm]=\frac{(\alpha+n+1)!\cdot{}((\alpha+1)+(n+1))}{(\alpha+1)!\cdot{}(n+1)!}=\frac{(\alpha+n+2)!}{(n+1)!\cdot{}(\alpha+1)!}=\binom{\alpha+(n+1)+1}{n+1}.\quad\Box[/mm]
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 So 04.11.2007 | | Autor: | matt57 |
Vielen Dank!
Beste Grüße
Matt
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